Silovscher Rand und Dirichletsches Problem
Annales de l'Institut Fourier, Volume 11 (1961), p. 89-136

On montre d’abord l’existence de la frontière de S ˇilov E X d’un espace compact X par rapport à un ensemble E assez général de fonctions numériques semi-continues inférieurement dans X ; on introduit aussi une frontière de Choquet partout dense dans E X. Ensuite on étudie un problème de Dirichlet abstrait : on se donne un espace compact X et un espace vectoriel H de fonctions continues réelles dans X ; on construit une certaine complétion H ^ de H. Le problème de Dirichlet abstrait est alors de trouver des conditions nécessaires et suffisantes pour que toute fonction continue réelle dans H X puisse être prolongée en une fonction de H ^.

Cette théorie permet plusieurs applications : Application au problème de Dirichlet classique ; on montre en outre que l’ensemble des points réguliers d’un ouvert relativement compact dans R n est une frontière de Choquet. Caractérisation, par des propriétés intrinsèques, des simplexes de G. Choquet dont l’ensemble des points extrémaux est fermé. Application au problème de Dirichlet pour les fonctions harmoniques discrètes. Étude de la frontière de S ˇilov d’un espace compact par rapport à une algèbre de fonctions continues à valeurs complexes.

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Bauer, Heinz. Silovscher Rand und Dirichletsches Problem. Annales de l'Institut Fourier, Volume 11 (1961) pp. 89-136. doi : 10.5802/aif.110. http://www.numdam.org/item/AIF_1961__11__89_0/

[1] R. Arens and I. M. Singer, Function values as boundary integrals, Proc. Amer. Math. Soc., 5, 1954, 735-745. | MR 16,373f | Zbl 0056.33501

[2] G. Aumann, Über die Erweiterung von additiven monotonen Funktionen auf regulär geordneten Halbgruppen, Arch. der Math., 8, 1957, 422-427. | MR 20 #6468 | Zbl 0202.39902

[3] H. Bauer, Un problème de Dirichlet pour la frontière de Šilov d'un espace compact, C. r. Acad. Sci. Paris, 247, 1958, 843-846. | Zbl 0083.09501

[4] H. Bauer, Frontière de Šilov et problème de Dirichlet, Séminaire de Théorie du potentiel, 3, 1958-1959, n° 7, 23 p. (Institut H. Poincaré, Paris). | Numdam

[5] H. Bauer, Minimalstellen von Funktionen und Extremalpunkte II, Arch. der Math., 11, 1960, 200-205. | MR 24 #A251 | Zbl 0098.08003

[6] H. Bauer, Une axiomatique du problème de Dirichlet pour certaines équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques, C. r. Acad. Sci. Paris, 250, 1960, 2672-2674. | MR 24 #A252 | Zbl 0095.07801

[7] G. Birkhoff, Lattice theorie, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 25, New York, 1948. | MR 10,673a | Zbl 0033.10103

[8] E. Bishop and K. De Leeuw, The representations of linear functionals by measures on sets of extreme points, Ann. Inst. Fourier, 9, 1959, 305-331. | Numdam | MR 22 #4945 | Zbl 0096.08103

[9] E. Bishop, A minimal boundary for function algebras, Pacific Journ. Math., 9, 1959, 629-642. | MR 22 #191 | Zbl 0087.28503

[10] G. Bouligand, Fonctions harmoniques. Principes de Picard et de Dirichlet, Mém. Sci. Math., 11, Paris, 1926. | JFM 52.0487.02 | Numdam

[11] N. Bourbaki, Algèbre, Chap. VI-VII, Actual. sci. et industr., 1179, Paris, 1952. | Zbl 0049.01801

[12] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Chap. I-II, Actual. sci. et industr., 1189, Paris, 1953. | Zbl 0050.10703

[13] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Chap. III-V, Actual. sci. et industr., 1299, Paris, 1955.

[14] N. Bourbaki, Intégration, Chap. I-IV, Actual. sci. et industr., 1175, Paris, 1952. | Zbl 0049.31703

[15] N. Bourbaki, Intégration, Chap. V, Actual. Sci. et industr., 1244, Paris, 1956.

[16] M. Brelot, Familles de Perron et problème de Dirichlet, Acta Szeged, 9, 1939, 133-153. | JFM 65.0418.03 | MR 1,121d | Zbl 0023.23302

[17] M. Brelot, Une axiomatique générale du problème de Dirichlet dans les espaces localement compacts, Séminaire de Théorie du potentiel, 1, 1956-1957, n° 6, 16 p. (Institut H. Poincaré, Paris). | Numdam

[18] M. Brelot, Axiomatique des fonctions harmoniques et surharmoniques dans un espace localement compact, Séminaire de Théorie du potentiel, 2, 1957-1958, n° 1, 40 p. (Institut H. Poincaré, Paris). | Numdam

[19] M. Brelot, Sur un théorème de prolongement fonctionnel de Keldych concernant le problème de Dirichlet, Journal d'Analyse Math., Jérusalem (erscheint demnächst). | Zbl 0111.09604

[20] H. J. Bremermann, On a generalized Dirichlet problem for plurisubharmonic functions and pseudoconvex domains. Characterisation of Šilov boundaries, Trans. Amer. Math. Soc., 91, 1959, 246-276. | MR 25 #227 | Zbl 0091.07501

[21] G. Choquet, Existence et unicité des représentations intégrales au moyen des points extrémaux dans les cônes convexes, Séminaire Bourbaki, Déc. 1956, n° 139, 15 p. (Institut H. Poincaré, Paris). | Numdam | MR 18,219b | Zbl 0121.09204

[22] G. Choquet, Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier, 5, 1953, 131-295. | Numdam | MR 18,295g | Zbl 0064.35101

[23] G. Choquet et J. Deny, Ensembles semi-réticulés et ensembles réticulés de fonctions continues, J. Math. pur. appl., 36 (9e série), 1957, 179-189. | MR 20 #1119 | Zbl 0077.31402

[24] M. M. Day, Normed linear spaces, Ergebnisse der Math., 21 (Neue Folge), Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1958. | MR 20 #1187 | Zbl 0082.10603

[25] I. Gelfand, D. Raikov and G. Šilov, Commutative normed rings, Usp. Mat. Nauk SSSR, N. S. 2, 1946, 48-146. | Zbl 0063.01567

[26] H. A. Heilbronn, On discrete harmonic functions, Proc. Cambridge philos. Soc., 45, 1949, 194-206. | MR 10,705d | Zbl 0033.06303

[27] S. Kakutani, Concrete representation of abstract (M-)spaces, Ann. of Math., 42, 1941, 994-1024. | Zbl 0060.26604

[28] M. V. Keldych, On the solubility and the stability of Dirichlet's problem (russisch), Usp. Mat. Nauk SSSR, 8, 1941, 172-231. | Zbl 0179.43901

[29] J. G. Kemeny and J. L. Snell, Semimartingales of Markov chains, Ann. Math. Statistics, 29, 1958, 143-154. | MR 20 #341 | Zbl 0087.13502

[30] V. L. Klee Jr., Extremal structure of convex sets II, Math. Zeitschr., 69, 1958, 90-104. | MR 19,1065b | Zbl 0079.12502

[31] S. Matsushita, Théorème de Krein-Milman et le balayage de mesures dans la théorie du potentiel I-III, Proc. Japan. Acad., 31, 1955, 643-647 ; 32, 1956, 29-34 ; 32, 1956, 125-130. | MR 18,29b | Zbl 0073.32202

[32] S. Matsushita, On the foundation of balayage theory, J. Inst. Polytech. Osaka City Univ., Ser. A, 9, 1958, 59-86. | MR 21 #2835 | Zbl 0115.31802

[33] D. P. Milman, Characteristics of extremal points of regularly compact sets (russisch), Dokl. Akad. Nauk SSSR, N. S. 57, 1947, 119-122. | Zbl 0029.14002

[34] F. Vasilesco, Sur les singularités des fonctions harmoniques, J. Math. pur. appl., 9 (9e série), 1930, 81-111. | JFM 56.1067.03

[35] J. Wermer, On algebras of continuous functions, Proc. Amer. Math. Soc., 4, 1953, 866-869. | MR 15,440g | Zbl 0052.12105

[36] J. Wermer, Subalgebras of the algebra of all complex-valued continuous functions on the circle, Amer. J. Math., 78, 1956, 225-242. | MR 18,911c | Zbl 0072.12303