Anneau des endomorphismes d'un module de type fini sur un anneau local
Annales de l'Institut Fourier, Volume 11 (1961), p. 313-384

L’objet de cet article est l’étude de l’anneau L(E) des A-endomorphismes d’un module de type fini E sur un anneau local A d’idéal maximal m, de corps des restes k. Si C est un sous-module caractéristique, on définit un homomorphisme naturel de L(E) dans L(E/C). En particulier, si C=mE, l’image de L(E) dans L(E/mE) par cet homomorphisme ϕ est une approximation de l’anneau L(E) par une sous-algèbre de la k-algèbre L(E/mE). Réciproquement, si R est une algèbre de dimension finie sur un corps k, il existe un anneau local A de corps des restes k et un A-module de type fini E tels que ϕ[L(E)] soit isomorphe à R. Si E est fidèle, la surjectivité de ϕ est équivalente au fait que E est libre. Un exemple simple montre que l’homomorphisme naturel de L(E) dans L(E/m i E) peut ne pas être surjectif pour i grand. Si C est un sous-module caractéristique maximal, l’idéal Hom A (E,C) est bilatère maximal et, réciproquement, tout idéal bilatère maximal I tel que Σ uI u(E) soit distinct de E est de ce type. La recherche des A-modules E tels que l’anneau L(E) soit commutatif se ramène, par extension d’anneau, à la recherche de modules dont les seuls endomorphismes sont les homothéties. Si l’anneau A est intègre, l’égalité L(E)=A implique que E est isomorphe à un idéal convenable de A. Il n’en est plus de même dans le cas général. L’étude d’un endomorphisme particulier u se fait, si l’anneau A est hensélien, par une technique de relèvement de décomposition en somme directe. Si l’anneau A est factoriel, on obtient une condition suffisante portant sur le polynôme minimal de u.

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Lafon, Jean-Pierre. Anneau des endomorphismes d'un module de type fini sur un anneau local. Annales de l'Institut Fourier, Volume 11 (1961) pp. 313-384. doi : 10.5802/aif.115. http://www.numdam.org/item/AIF_1961__11__313_0/

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