Théorie des distributions à valeurs vectorielles. I
Annales de l'Institut Fourier, Volume 7 (1957), pp. 1-141.

Ce travail a pour but l’extension aux distributions à valeurs vectorielles des principales propriétés des distributions scalaires (Théorie des distributions, Paris, Hermann, 1950–51, et nouvelle édition du tome I, 1957).

Soit E un espace vectoriel topologique localement convexe séparé quasi-complet. L’espace 𝒟 (E) des distributions sur R n à valeurs dans E est par définition l’espace (𝒟;E) des applications linéaires continues de 𝒟 dans E, 𝒟 étant l’espace des fonctions numériques indéfiniment dérivables à support compact sur R n . On peut remplacer 𝒟 par d’autres espaces : , 𝒮 , etc...

Le chapitre I étudie toutes les opérations ne faisant intervenir qu’une distribution vectorielle et une ou plusieurs distributions scalaires.

Le paragraphe 1 définit un espace LεM associé à deux espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés arbitraires ; alors 𝒟 (E) n’est autre que 𝒟 εE. Si est un sous-espace de 𝒟 , muni d’une topologie plus fine que la topologie induite, on définit alors le sous-espace. (E) de 𝒟(E) comme étant εE. Si T (𝒟;E), sa transformée t T est une application linéaire continue de E c dans 𝒟 (E c est le dual de E, muni de la topologie de la convergence compacte). t T (e ) se notera aussi T ,e , pour e E . Alors on dira qu’une distribution T 𝒟 (E) appartient scalairement à appartient à (E) ; les espaces de distribution 𝒟,𝒟 ,, ,𝒮,𝒮 , ont la propriété ε.

Soient , , deux espaces de distributions en dualité (par exemple 𝒮,𝒮 ). Alors si S, T , on peut définir un produit scalaire S·T, nombre complexe. Si maintenant S (E), T , on peut définir S ·TE, et cette extension du produit scalaire a les propriétés d’hypocontinuité qu’on attend.

On peut de même étendre le produit multiplicatif, et définir par exemple αT 𝒮 (E) pour α𝒪 M , T 𝒮 (E), et le produit de convolution et définir par exemple S*T 𝒮 (E) pour S𝒪 c , T 𝒮 (E). L’image Fourier d’une distribution tempérée T 𝒮 (E) se définit par T (γ)=T (ϕ) pour toute ϕ𝒮, ou par T ,e =T ,e pour tout e E  ; la transformation de Fourier ainsi étendue échange multiplication et convolution.

Le chapitre I étudie longuement le cas où E est lui-même un espace de distributions (théorie des noyaux). Si =𝒟 L 1 , E quelconque T 𝒟 L 1 (E) est dite sommable sur R n  ; si =(𝒟 L 1 ) x et E=𝒟 y , T(D L 1 ) x (𝒟 y ) est dite partiellement sommable en x. Diverses applications aux opérations définies antérieurement sont étudiées.

Le chapitre II étudie les opérations faisant intervenir 2 distributions à valeurs vectorielles. D’abord on étudie diverses topologiques sur un produit tensoriel LM ; on note ces topologies par L λ M, où λ est l’une des 5 lettres t,γ,β,π,ε. Soient alors L,M,U,V, 4 espaces vectoriels quasi-complets.

Pour ξL λ U, ηM t V, on peut définir “un produit croisé” Γ μ,λ (ξ,η)(L μ M) ε (U λ V), dont on étudie systématiquement les propriétés.

Plus généralement si ϕ,χ,ψ,ω, sont 4 des 5 lettres précédentes, on peut, dans certaines conditions, définir, pour ξL ϕ U, ηM χ V, un produit croisé appartenant à (L ψ M) ε (U ω V).

Ce produit croisé peut être appliqué aux différentes produits de 2 distributions à valeurs vectorielles.

Soient E, F, G, 3 espaces de Banach, et soit B une application bilinéaire continue de E×F dans G. Soient d’autre part ,𝒦,, 3 espaces de distributions, et soit U une application bilinéaire hypocontinue (S·TST de ×𝒦 dans (par exemple le produit scalaire S·T si 𝒦= , = corps des scalaires ; le produit multiplicatif si =𝒮 , 𝒦=O M , =𝒮  ; le produit de convolution si =𝒮 , 𝒦=O c , =𝒮 . Alors, si l’espace est nucléaire, et si l’on a en outre quelques autres propriétés peu restrictives, on peut définir un produit croisé S B T (G), pour 𝒮 (E), T 𝒦(F) ; ce produit a les propriétés d’hypocontinuité qu’on peut normalement en attendre.

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