Espaces et lignes de Green
Annales de l'Institut Fourier, Volume 3 (1951), pp. 199-263.

Les auteurs reprennent deux notes aux C.R. étudiant (en s’inspirant du cas plan simplement connexe traité par Evans) les lignes de Green (trajectoires orthogonales des lignes ou surfaces G p (M)=C te ) et certaines applications. Mais au lieu de se placer dans l’espace euclidien à τ2 dim , ils font la théorie dans des espaces E plus généraux, comprenant les surfaces classiques de Riemann, des variétés analogues non orientables et les espaces localement euclidiens à τ dim . On examine surtout parmi ces espaces ceux qui sont pourvus d’une “fonction de Green” et on les appelle espaces de Green ou greeniens. On étend le problème de Dirichlet “ordinaire” à un sous-domaine Ω greenien de E en utilisant comme topologie T, celle de E pourvu d’un point d’Alexandroff s’il n’est compact. Grâce à quelques notions sur le potentiel de Green, on étudie les lignes de Green dans Ω issues du pôle P. Presque toutes (au sens de la mesure angulaire (ou d’angle solide) de départ, dite mesure de Green à un facteur près) admettent pour G la borne inférieure 0 sans rencontrer de zéro de grad G et ont une limite pour G0. Aux points d’un ensemble e de la frontière de Ω aboutissent des lignes de Green dont la mesure de Green vaut la mesure harmonique de e en P. Cela permet de traiter des extensions du problème de Dirichlet où la frontière est obtenue par complétion à partir d’une métrique convenable dans Ω (problème ramifié ou géodésique). Car elles permettent de vérifier deux conditions fondamentales qui, dans une étude axiomatique de la question, suffisent à étendre les raisonnements du cas classique un peu améliorés. La mesure de Green permet aussi certaines applications par majoration ; citons pour les fonctions holomorphes bornées des extensions de théorèmes (Montel, etc.) sur la nullité ou la convergence à partir de ces propriétés sur une partie de la frontière (remplacées ici par des conditions-limite sur les lignes d’un faisceau de lignes de Green dans une surface de Riemann greenienne).

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