Deny, Jacques
Sur la définition de l'énergie en théorie du potentiel
Annales de l'institut Fourier, Tome 2 (1950) , p. 83-99
Zbl 0042.33602 | MR 13,459d | 5 citations dans Numdam
doi : 10.5802/aif.22
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Comparaison de la définition classique de l’énergie d’une mesure positive μ et de deux autres définitions introduites par l’auteur dans son travail des Acta Mathematica (1950), auquel cet article apporte des compléments et une rectification. Les noyaux K considérés sont des mesures positives satisfaisant toujours à la condition (A) : la transformée de Fourier (au sens de L. Schwartz) de K est une fonction positive K dont l’inverse I/K est à croissance lente ; et éventuellement à la condition de régularité (B) : K=K(x) est une fonction positive continue pour tout x, finie pour x0, et satisfaisant au théorème de Evans-Vasilesco : la continuité de la restriction du potentiel K(x-y)dμ(y) au support de μ (supposé compact) entraîne la continuité du potentiel dans l’espace R m tout entier. On considère les trois définitions de l’énergie d’une μ0 : (I) E 1 (μ)=K(x-y)dμ(x)dμ(y) (c’est la définition classique, qui a un sens si K est une fonction borélienne 0). (II) Si la mesure composée K*μ*μ ˇ (μ ˇ= mesure symétrique de μ) existe et est à densité continue f(x), on pose E 2 (μ)=SpK*μ*μ ˇ (=f(0)) ; sinon E 2 (μ)=+. (III) Si la transformée de Fourier M=F(μ) est une fonction de carré sommable par rapport à la mesure de densité K=F(K), on pose E 2 (μ)=K|M| 2 dx ; sinon E 3 (μ)=+. Voici alors les résultats essentiels : pour un noyau satisfaisant seulement à (A), E 2 (μ)< entraîne E 2 (μ)=E 3 (μ), et l’espace de ces mesures est complet pour la norme E 2 (μ). Si le noyau satisfait également à (B), on a toujours E 1 (μ)=E 2 (μ). La question de savoir s’il existe des mesures μ satisfaisant à E 3 (μ)<E 2 (μ)=+ n’est pas résolue ; elle se pose d’ailleurs seulement pour les mesures dont le support n’est pas compact. Une réponse négative est donnée sans démonstration dans le cas de certains noyaux classiques.