A converse to the Andreotti-Grauert theorem
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Numéro Spécial : Actes du colloque Analyse Complexe et Applications en l’honneur de Nguyen Than Van, Volume 20 (2011) no. S2, pp. 123-135.

The goal of this paper is to show that there are strong relations between certain Monge-Ampère integrals appearing in holomorphic Morse inequalities, and asymptotic cohomology estimates for tensor powers of holomorphic line bundles. Especially, we prove that these relations hold without restriction for projective surfaces, and in the special case of the volume, i.e. of asymptotic 0-cohomology, for all projective manifolds. These results can be seen as a partial converse to the Andreotti-Grauert vanishing theorem.

Le but de ce travail est de montrer qu’il y a des relations fortes entre certaines intégrales de Monge-Ampère apparaissant dans les inégalités de Morse holomorphes, et les estimations asymptotiques de cohomologie pour les fibrés holomorphes en droites. En particulier, nous montrons que ces relations sont satisfaites sans restriction pour toutes les surfaces projectives, et dans le cas particulier du volume, c’est-à-dire de la 0-cohomologie asymptotique, pour toutes les variétés projectives. Ces résultats peuvent être vus comme une réciproque partielle au théorème d’annulation d’Andreotti-Grauert.

DOI: 10.5802/afst.1308
Demailly, Jean-Pierre 1

1 Université de Grenoble I, Département de Mathématiques, Institut Fourier, 38402 Saint-Martin d’Hères, France
@article{AFST_2011_6_20_S2_123_0,
     author = {Demailly, Jean-Pierre},
     title = {A converse to the {Andreotti-Grauert} theorem},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {123--135},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Institut de math\'ematiques},
     address = {Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 20},
     number = {S2},
     year = {2011},
     doi = {10.5802/afst.1308},
     zbl = {1228.32020},
     mrnumber = {2858170},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1308/}
}
TY  - JOUR
AU  - Demailly, Jean-Pierre
TI  - A converse to the Andreotti-Grauert theorem
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2011
SP  - 123
EP  - 135
VL  - 20
IS  - S2
PB  - Université Paul Sabatier, Institut de mathématiques
PP  - Toulouse
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1308/
DO  - 10.5802/afst.1308
LA  - en
ID  - AFST_2011_6_20_S2_123_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Demailly, Jean-Pierre
%T A converse to the Andreotti-Grauert theorem
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2011
%P 123-135
%V 20
%N S2
%I Université Paul Sabatier, Institut de mathématiques
%C Toulouse
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1308/
%R 10.5802/afst.1308
%G en
%F AFST_2011_6_20_S2_123_0
Demailly, Jean-Pierre. A converse to the Andreotti-Grauert theorem. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Numéro Spécial : Actes du colloque Analyse Complexe et Applications en l’honneur de Nguyen Than Van, Volume 20 (2011) no. S2, pp. 123-135. doi : 10.5802/afst.1308. http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1308/

[AG62] Andreotti (A.), Grauert (H.).— Théorèmes de finitude pour la cohomologie des espaces complexes, Bull. Soc. Math. France 90, p. 193-259 (1962). | Numdam | MR | Zbl

[Ang95] Angelini (F.).— An algebraic version of Demailly’s asymptotic Morse inequalities; arXiv: alg-geom/9503005, Proc. Amer. Math. Soc. 124 p. 3265-3269 (1996). | MR | Zbl

[Bou02] Boucksom (S.).— On the volume of a line bundle, Internat. J. Math. 13, p. 1043-1063 (2002). | MR | Zbl

[BDPP04] Boucksom (S.), Demailly (J.-P.), Păun (M.), Peternell (Th.).— The pseudo-effective cone of a compact Kähler manifold and varieties of negative Kodaira dimension, arXiv: math.AG/0405285, see also Proceedings of the ICM 2006 in Madrid. | MR

[Dem82] Demailly (J.-P.).— Estimations L 2 pour l’opérateur ¯ d’un fibré vectoriel holomorphe semi-positif au dessus d’une variété kählérienne complète, Ann. Sci. École Norm. Sup. 15, p. 457-511 (1982). | Numdam | MR | Zbl

[Dem85] Demailly (J.-P.).— Champs magnétiques et inégalités de Morse pour la d -cohomologie, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 35, p. 189-229 (1985). | Numdam | MR | Zbl

[Dem91] Demailly (J.-P.).— Holomorphic Morse inequalities, Lectures given at the AMS Summer Institute on Complex Analysis held in Santa Cruz, July 1989, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol. 52, Part 2, p. 93-114 (1991). | MR | Zbl

[Dem92] Demailly (J.-P.).— Regularization of closed positive currents and Intersection Theory, J. Alg. Geom. 1, p. 361-409 (1992). | MR | Zbl

[Dem10] Demailly (J.-P.).— Holomorphic Morse inequalities and asymptotic cohomology groups: a tribute to Bernhard Riemann, Milan Journal of Mathematics 78, p. 265-277 (2010). | MR | Zbl

[DEL00] Demailly (J.-P.), Ein (L.) and Lazarsfeld (R.).— A subadditivity property of multiplier ideals, Michigan Math. J. 48, p. 137-156 (2000). | MR | Zbl

[DP04] Demailly (J.-P.), Păun (M.).— Numerical characterization of the Kähler cone of a compact Kähler manifold, arXiv: math.AG/0105176; Annals of Math. 159, p. 1247-1274 (2004). | MR | Zbl

[FKL07] de Fernex (T.), Küronya (A.), Lazarsfeld (R.).— Higher cohomology of divisors on a projective variety, Math. Ann. 337, p. 443-455 (2007). | MR | Zbl

[Fuj94] Fujita (T.).— Approximating Zariski decomposition of big line bundles, Kodai Math. J. 17, p. 1-3 (1994). | MR | Zbl

[Hir64] Hironaka (H.).— Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero, Ann. of Math. 79, p. 109-326 (1964). | MR | Zbl

[Kür06] Küronya (A.).— Asymptotic cohomological functions on projective varieties, Amer. J. Math. 128, p. 1475-1519 (2006). | MR | Zbl

[Laz04] Lazarsfeld (R.).— Positivity in Algebraic Geometry I.-II, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Vols. 48-49, Springer Verlag, Berlin, 2004. | MR | Zbl

[Tot10] Totaro (B.).— Line bundles with partially vanishing cohomology, July 2010, arXiv: math.AG/1007.3955.

Cited by Sources: