Courants dynamiques pluripolaires

Buff, Xavier

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 20 (2011) no. 1, pp. 203-214

On montre l’existence d’applications rationnelles $f:{\mathbb{P}}^k\to {\mathbb{P}}^k$ telles que

• $f$ est algébriquement stable  : pour tout $n\ge 0$, $deg{f}^{\circ n}={(degf)}^n$,
• il existe un unique courant positif fermé $T$ de bidegré $(1,1)$ vérifiant $f^{*}T=d·T$ et ${\int }_{{\mathbb{P}}^k}T\wedge {\omega }^{k-1}=1$ où $\omega$ est la forme de Fubini-Study sur ${\mathbb{P}}^k$ et
• $T$ est pluripolaire  : il existe un ensemble pluripolaire $X\subset {\mathbb{P}}^k$ tel que ${\int }_{X}T\wedge {\omega }^{k-1}=1$

We prove the existence of rational maps $f:{\mathbb{P}}^k\to {\mathbb{P}}^k$ such that

• $f$ is algebraically stable: for all $n\ge 0$, $deg{f}^{\circ n}={(degf)}^n$,
• there is a unique closed positive $(1,1)$ current $T$ satisfying $f^{*}T=d·T$ and ${\int }_{{\mathbb{P}}^k}T\wedge {\omega }^{k-1}=1$ where $\omega$ is the Fubini-Study form on ${\mathbb{P}}^k$ and
• $T$ is a pluripolar current: there is a pluripolar set $X\subset {\mathbb{P}}^k$ such that ${\int }_{X}T\wedge {\omega }^{k-1}=1$.

[DDG] Diller (J.), Dujardin (R.) $\&$ Guedj (V.).— Dynamics of meromorphic maps with small topological degree II : Energy and invariant measure à paraître à Comment. Math. Helvet.

[DG] Diller (J.) $\&$ Guedj (V.).— Regularity of dynamical Green functions,Transactions of the American Mathematical Society 9, p. 4783-4805 (2009). | Zbl | MR

[F] Favre (C.).— Points périodiques d’applications birationnelles de ${\mathbb{P}}^2$, Annales de l’Institut Fourier, 48/4, p. 999-1023 (1998). | Zbl | MR | Numdam

[S] Sibony (N.).— Dynamique des applications rationnelles de ${\mathbb{P}}^k\left(ℂ\right)$, Panoramas et Synthèses, 8 p. 97-185 (1999). | Zbl | MR