Remarques sur l'observabilité pour l'équation de Laplace
ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, Tome 9 (2003) , pp. 621-635.

Nous quantifions la propriété de continuation unique pour le laplacien dans un domaine borné quand la condition aux bords est a priori inconnue. Nous établissons une estimation de dépen-dance de type logarithmique suivant la terminologie de John [5]. Les outils utilisés reposent sur les inégalités de Carleman et les techniques des travaux de Robbiano [8, 11]. Aussi, nous déterminons en application de l'inégalité d'observabilité obtenue un coût du contrôle approché pour un problème elliptique modèle.

We consider the Laplace equation in a smooth bounded domain. We prove logarithmic estimates, in the sense of John [5] of solutions on a part of the boundary or of the domain without known boundary conditions. These results are established by employing Carleman estimates and techniques that we borrow from the works of Robbiano [8, 11]. Also, we establish an estimate on the cost of an approximate control for an elliptic model equation.

DOI : https://doi.org/10.1051/cocv:2003030
Classification : 35B60,  93B07,  95B37
Mots clés : Laplace equation, observability, Carleman inequalities, approximate controllability
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Phung, Kim-Dang. Remarques sur l'observabilité pour l'équation de Laplace. ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, Tome 9 (2003) , pp. 621-635. doi : 10.1051/cocv:2003030. http://www.numdam.org/item/COCV_2003__9__621_0/

[1] R. Dautray et J.-L. Lions, Analyse mathématique et calcul numérique. Masson (1988).

[2] C. Fabre et G. Lebeau, Prolongement unique des solutions de l'équation de Stokes. Comm. Partial Differential Equations 21 (1996) 573-596. | Zbl 0849.35098

[3] E. Fernández-Cara et E. Zuazua, The cost of approximate controllability for heat equations: The linear case. Adv. Differential Equations 5 (2000) 465-514. | Zbl 1007.93034

[4] L. Hörmander, Linear partial differential operators. Springer Verlag, Berlin (1963). | MR 404822 | Zbl 0108.09301

[5] F. John, Continuous dependence on data for solutions of partial differential equations with a prescribed bound. Comm. Pure Appl. Math. 13 (1960) 551-585. | MR 130456 | Zbl 0097.08101

[6] G. Lebeau, Contrôle analytique. I. Estimations a priori. Duke Math. J. 68 (1992) 1-30. | MR 1185816 | Zbl 0780.93053

[7] J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte, stabilisation et perturbation des systèmes distribués, Vol. 1, Coll. RMA. Masson, Paris (1988). | MR 953547 | Zbl 0653.93002

[8] G. Lebeau et L. Robbiano, Contrôle exact de l'équation de la chaleur. Comm. Partial Differential Equations 20 (1995) 335-356. | Zbl 0819.35071

[9] J.-L. Lions et E. Magenes, Problèmes aux limites non homogènes, Vol. 1. Dunod (1968). | Zbl 0165.10801

[10] K.-D. Phung, Stabilisation d'ondes électromagnétiques. Thèse de l'ENS Cachan (1998).

[11] L. Robbiano, Théorème d'unicité adapté au contrôle des solutions des problèmes hyperboliques. Comm. Partial Differential Equations 16 (1991) 789-800. | Zbl 0735.35086

[12] L. Robbiano, Fonction de coût et contrôle des solutions des équations hyperboliques. Asymptot. Anal. 10 (1995) 95-115. | MR 1324385 | Zbl 0882.35015