Théorie non-linéaire du champ électromagnétique
Annales de l'institut Henri Poincaré, Volume 7 (1937) no. 4, pp. 155-265.
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1. - J.J. Thomson, Recollections and reflections, London, G. Bell and Sons, Ltd, 1936.

2. P. Weiss, Proc. Roy. Soc. London A, vol. 156, 1936, p. 192. | JFM | Zbl

§ 1. - 1. Exposés généraux concernant le calcul des variations et le calcul fonctionnel :E. Cartan, Leçons sur les invariants intégraux, Hermann,Paris, Ch. I-III.

V. Volterra, Theory of functionals, London, 1930. | JFM

Th. De Donder, Théorie Invariantive du Calcul des variations, Paris, 1935. Les ouvrages suivants traitent des problèmes de variations particulières dans l'espace à n dimensions. | Zbl

V. Volterra, Act. Lincei Rend. Roma, 4e série, t. VI, I, 1890, p. 43. | JFM

D. Hilbert, Göttinger Nachr., 1900, p. 253 ; 1905, p. 159. | JFM

M. Fréchet, Ann. di Math., 3e série, t. XI, 1905, p. 187, | JFM

G. Prange, Die Hamilton-Jacobische Theorie für Doppelintegrale (Dissertation, Göttingen, 1915). | EuDML | JFM

M.G. Juvet, Sur une équation aux dérivées fonctionnelles partielles et sur une généralisation du théorème de Jacobi (Thèse, Paris, 1926). | JFM | Numdam

§ 2. - 1. F. Klein, Göttingen Nachr., 1918, p. 171 et 394.

§ 3. - 1. G. Mie, Ann. d. Phys., 4e série, Bd. 37, 1912, p. 5II; 39, 1912, p. I; 40, 1913, p. I.

2. Divers traités sur le calcul tensoriel :H. Weyl, Raum. Zeit. Materie, 5th éd., Berlin, 1923.

W. Pauli, Relativitätstheorie (Encyclop. d. Math. Wiss., V, t. 19, p. 539). | JFM

A. Eddington, The Mathematical Theory of Relativity, Cambridge, 1922. | JFM

J.A. Schouten, Der Ricci-Calcül, Berlin, 1924.

J. Levi-Civita, The absolute differential calculus, London, 1935.3.La bibliographie du sujet est trop vaste pour pouvoir trouver place ici.4.Voir, par exemple, l'article de PAULI dans l'Encyclopédie allemande, cité au N° 2, p. 609.5. Le raisonnement de la fin du § 3 n'est pas rigoureux à cause de l'apparition des fonctions variationnelles arbitraires δxk comme coefficients des wlk ou alk dans l'expression (3.23). Dans le cas de l'électrodynamique unitaire (voir § 6) Weiss a récemment développé un calcul qui conduit rigoureusement aux alk au lieu des wlk et qui sera publié sous peu. Son raisonnement est basé « sur l'invariance de jauge » [voir § 5 (5.I8)], qui est une propriété caractéristique de l'électrodynamique unitaire. Dans le cas général de l'électrodynamique de Mie il n'y a pas « d'invariance de jauge », donc un tel calcul est impossible. Ce fait peut être regardé comme une raison de plus contre la théorie de Mie, en dehors des autres discutées à la fin du § 5. .

§ 4. - 1. La démonstration correspondant aux deux relations (4.I4) dans le cas du champ gravitationnel a été esquissée par Klein dans le Mémoire cité au § 2, N° 1. On peut trouver également la seconde condition (4.I5) dans l'article de PAULI et en plusieurs autres publications.2. Voir, par exemple le § 48 de A. EDDINGTON (Ouvrage cité au § 3, 2).3. P. WEISS, dans sa thèse déjà citée, a démontré par une autre voie algébrique les conditions (3.I2) dans le cas où L dépend seulement de F et G. La démonstration du texte ne semble pas avoir été indiquée dans aucune publication connue.

§ 5. - 1. M. Born, Göttinger Nachr., 1914, p. I.2. Ce fait, clairement expliqué dans l'ouvrage de WEYL (§ 3, N° 2) et dans l'article de PAULI, a fait l'objet d'un examen détaillé par VAN DANTZIG(Proc. Cambr. Phil. Soc., 1934, p. 421).3.L'exposé le plus complet de cette théorie se trouve dans les articles de LORENTZ dans l'Encyclop. d. Math. Wiss. V, t. 3.

4. W. Kaufmann, Gött. Nachr, 1901, p. 143; 1902, p. 291;1903, p. 90. 5. Les recherches d'ABRAHAM ont été réunies dans son ouvrage bien connu : Theorie der Elektrizität, 3 Ed., 1914, Berlin; on y trouvera la bibliographie correspondante dans le volume II.

6. M. Born, Ann. d. Phys., 4e série, t. 30, 1909, p. I. | JFM

7. P. Langevin, Jubilé de Marcel Brillouin, p. 426. | Zbl

§ 6. - 1. M. Born, Nature, t. 132, 1933, p. 282. Proc. Roy. Soc. A, t. 143. 1934, p. 4I0.

M. Born and L. Infeld, Nature, t. 132, 1933, p. 970, 1004; Proc. Roy. Soc. A., t. 144, 1934, p. 425. | JFM | Zbl

J. Frenkel, Proc. Roy. Soc. A.. t. 146, 1934, p. 930. | Zbl

2. B.S. Madhava Rao, Proc. Indiam Ac. Sciences, vol. 4, 1936, p. 436.

§ 7. - 1. S. Schubin and A. Smirnov, C. R. Acad. Sciences de l'U. R. S. S., vol. 1, 10e série, 1935, p. 69, ont traité des cas particuliers. | Zbl

2. M.H.L. Pryce, Proc. Cambr. Phil. Soc., vol. 31, 1935, p. 625. | JFM | Zbl

3. M.H.L. Pryce, Proc. Cambr. Phil. Soc., vol. 31, 1935, p. 50. | Zbl

4. B.S. Madhava Rao, Proc. Indian Ac. Sciences, vol. 4, 1936, p. 355.5. Dès I907, J. Stark avait émis l'hypothèse de l'existence d'un électron à symétrie axiale, et avait essayé de la confirmer expérimentalement. Ses efforts ne furent cependant pas couronnés de succès, car il passa à côté de l'explication, découverte pas Pauli, Uhlenbeck et Goudmit, de la multiplicité des lignes spectrales au moyen du spin. Récemment, Stark a renouvelé sa tentative (Phys. Zeitschr., t. 38, I937, p. 269), en essayant d'établir un rapport entre la structure axiale de l'électron et la supraconductivité des métaux, mais, tout comme auparavant, sans chercher à donner une forme mathématique à sa pensée. D'ailleurs, s'il avait essayé de le faire en utilisant la théorie classique dont il est un strict partisan, il aurait rencontré certainement des difficultés du même ordre ou même plus considérables que celles sur lesquelles échoue la théorie classique de l'électron. Les calculs de Madhava Rao constituent en quelque sorte la réalisation du programme tracé par Stark; ils montrent clairement que n'importe quelle théorie classique de l'électron annulaire est incapable de représenter les faits expérimentaux et mettent en évidence la raison de cet échec.

§ 8. - 1.La suggestion d'Infeld a été développée dans le second Mémoire, de M. Born et L. Infeld, cité sous le n° § 6, 1.

2. E. Schrödinger, Proc. Roy. Soc., A, t. 150, 1935, p. 4653.Le double signe du radical représentant la densité d'énergie dans un champ électromagnétique est analogue ou double signe de l'énergie d'un électron dans le traitement relativiste. Dans ce dernier cas, Dirac a montré comment on peut l'éliminer par l'introduction des matrices de spin. Il est tentant d'essayer d'appliquer le même procédé à l'énergie d'un champ électromagnétique; j'ai réussi à montrer que pour un point donné de l'espace, il est possible d'éliminer la racine carrée, sans utiliser d'autres matrices que celles employées par Dirac (M. BORN, Proc. Cambr. Phil. Soc., t. 32, I936, p. I02). La théorie générale exigerait alors l'attribution de matrices de spin indépendantes à chacun des points de l'espace et il ne m'a pas été possible de développer suffisamment cette idée pour la rendre féconde.

4. B.S. Madhava Rao, Proc. Indian Ac. Sciences, t. 4, 1936, p. 575.

5. P. Weiss, Proc. Cambr. Phil. Soc., vol. 33, 1937, p. 79. | Zbl

6. L. Infeld, Proc. Cambr. Phil. Soc., vol. 32, 1936, p. 127 vol. 33, 1937, p. 70; | Zbl

L. Infeld and B. Hoffmann, Phys. Rev., vol 51, 1937, p. 765. | Zbl

§ 9. - 1.Voir les Mémoires de Born, Infeld, Frenkel cités sous le n° § 6, 1.

2. E. Feenberg, Phys. Rev., vol. 47, 1935, p. 148. | JFM | Zbl

3. M.H.L. Pryce, Proc. Roy. Soc., (A), vol I55, 1936, p. 597. | JFM | Zbl

4. L. De Broglie, Comptes rendus, t. 199, 1934, p. 8I3; Une nouvelle conception de la lumière, Hermann, Paris, 1934.

5. P. Jordan, Zs. f. Phys., t. 93, 1935, p. 464; t. 98, 1936, p. 759; t. 99, 1936, p. 109; t. 100, 1936, p. 569.

6. B. Hoffmann, Quart. Journ. of Math., vol. 6, 1935, p. 149; Phys. Rev., vol. 47, 1935, p. 877.7. L. INFELD and B. HOFFMANN, cité sous le n° § 8, 6. | Zbl

§ 10. - 1. La Méthode utilisée dans le texte est indiquée dans l'article de M. BORN, Proc. Indian Acad. Sciences, vol. 3, 1936, part. I, p. 8; part. II, p. 85. 2. Cette tentative se trouve dans le Mémoire cité au n° 1.

3. H.A. Kramers, Physica, t. 1, 1934, p. 825; | JFM | Zbl

Zeeman, Verhandelingen, 1935, p. 403.4. G. RACAH a démontré que la force de Lorentz est la seule qui puisse être déduite d'un principe variationnel pourvu qu'elle ne dépende des dérivées des coordonnées d'ordre supérieur à un (Rend. dei Lincei, vol, 25, 1937, p. 223).

§ 11. - 1. M. Born, W. Heisenberg et P. Jordan, Zeitschr. f. Phys., t. 35, 1925, p. 557. | JFM

2. W. Heisenberg, Ber. d. Sächs. Ac. d. Wiss., vol. 83, 1931, p. 5.;

3. On trouvera des exposés clairs et complets de cette théorie dans : E. FERMIRev. of Modern Physics, vol. 4, 1932, p. 87

W. Heitler, The Quantum Theory of Radiation, Oxford, 1936; | JFM

L. Nordheim, Théorie des chocs et du rayonnement (Ann. de l'Institut Poincaré, 1936). | Numdam | Zbl

4. W. Heisenberg and W. Pauli, Zeitschr. f. Phys., t. 56, 1929, p. I; t. 59, 1930, p. 168. | JFM

5. M. Born et L. Infeld, Proc. Roy. Soc., (A), vol. 147, 1934, p. 522; vol. 150, 1935, p. 141. | Zbl

6. M.H.L. Pryce, Proc. Roy. Soc., (A), vol. 155, 1936, p. 597; vol., I59, 1937, p. 355.7. Dans sa Thèse et dans les Proc. Roy. Soc., (A), t. 156, I936, p. I92, P. Weiss a développé une Méthode directe de déduire les lois de commutation, en introduisant une nouvelle définition des variables « canoniquement conjuguées » valable pour des systèmes à plus d'une variable indépendante. Cette Méthode a l'avantage d'être absolument invariante du point de vue relativiste et de mettre en évidence le rôle important joué par l'énergie totale dans la Méthode de quantification de Heisenberg et Pauli.8. P. WEISS a donné (dans le Mémoire .cité sous 7, une généralisation des lois de commutation qui est valable, lorsqu'au lieu d'une section d'univers t = const., on se donne une section à 3 dimensions quelconque.Voir également : V. FOCK, Phys. Zeitschr. d. Sowjetunion, vol. 6, I934, p. 425.

§ 12. - 1.La Méthode de P. Weiss (cité sous § 11, 7, 8) met en évidence la raison profonde de la dégénérescence mentionnée dans le texte, la disparition du moment correspondant au potentiel scalaire. P. Weiss a également établi de nouvelles lois de commutation reliant les potentiels et la charge totale, mais n'en a fait aucune application.

2. L. Infeld, Proc. Roy. Soc., (A), vol. 158, 1937, p. 368.3. Voir le Mémoire de Pryce cité sous le n° § 11, 6. | Zbl

4. M.H.L. Pryce, Proc. Cambr. Phil. Soc., vol. 32, 1936, p. 6I4. | Zbl

§ 13. - 1.Cette équation d'ondes a été établie par plusieurs auteurs : E. Schrödinger, Ann. d. Phys., t. 81, 1926, p. 129;

O. Klein, Zeitschr. f. Phys., t. 37, 1926, p. 895; | JFM

V. Fock, Zeitschr. f. Phys., t. 38, 1926, p. 242; t. 39, 1926. p. 226;

J. Kudar, Ann. d. Phys., t. 81, 1926, p. 632; | JFM

W. Gordon, Zeitschr, f. Phys., t. 40, 1926, p. II7

2. La discussion complète de cette question se trouve dans W. Pauli, Geiger-Scheel's Handbuch d. Physik (J. Springer), vol. 24, part. II (2e édit., 1933), p. 2I4.

3. P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. London, (A), vol. 117, 1928, p. 6I0; vol. 118, 1928, p. 341et également dans l'ouvrage, The Principles of Quantum Mechanics (2e édit., I935, Oxford). Pour compléter cette bibliographie, voir l'article de Pauli dans le Handbuch, cité au n° 2.

4. P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. London, (A), vol. 126, 1930, p. 360 ; Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 26, 1930, p. 361. | JFM

5. C.D. Anderson, Phys. Rev., t. 43, 1933, p. 491.

6. P.M.S. Blackett and G. Occhialini, Proc. Roy. Soc. (A), vol. 139, 1933, p. 699.

7. P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. (A), vol. 133, 1931, p. 61. 8. La bibliographie du sujet est trop vaste pour pouvoir trouver place ici: on la trouvera dans l'excellent article de L. NORDHEIM, Théorie des chocs et du rayonnement pour les énergies élevées (Ann. de l'Institut Henri Poincaré, I936).

9. P.A.M. Dirac, Proc. Cambr. Phil. Soc., vol. 30, 1934, p. 150. | Zbl

10. W. Heisenberg, Zeitschr. f. Phys., t. 90, 1934, p. 209. Voir ensuiteE.A. Uehling, Phys. Rev., t. 48, 1935, p. 55; R. Serber, Phys. Rev., t. 48, 1935, p. 49.

11. V. Weisskopf, Kgl. Danske Videnskabernes Selskab. Math.-fys. Meddel., t. 14, 1936, p. 6.

12. H. Euler and B. Kockel, Naturwiss., t. 23, 1935, p. 246; | Zbl

W. Heisenberg and H. Euler, Zeitschr. f. Phys., t. 98, 1936, p. 7I4; | JFM | Zbl

H. Euler, Ann. d. Phys. (5), t. 26, 1936, p. 398. | Zbl

13. D.R. Hartree, Proc. Cambridge Phil. Soc., t. 26, 1928, p. 89.

14. W. Pauli andV. Weisskopf, Helvetica Physica Acta, vol. 7, 1934, fasc. 7, p. 709. | JFM | Zbl

§ 14. - 1. O. Klein, Zeitschr. f. Phys., t. 53, 1929, p. 157.2. Dans le second Mémoire cité au n° § 13, 12. 3. Dans le premier Mémoire cité au n° § 13, 12. 4. En utilisant un autre Lagrangien, L. Infeld a réussi à obtenir la valeur ħc/e = I30 ; voir L. INFELD, Nature, t. 137, I936, p. 658 et Proc. Cambr. Phil. Soc., vol. 33, I937, p. 70.