Les espaces du type de Beppo Levi
Annales de l'Institut Fourier, Tome 5 (1954), p. 305-370
Soit Ω un ouvert quelconque connexe de R n . Soit E un espace vectoriel de distributions sur Ω, séparé et complet. On désigne par BL m (E) l’espace des distributions sur Ω dont toutes les dérivées d’ordre m sont dans E. Ces espaces sont les espaces du type de Beppo Levi. Si E=L 2 (Ω), on écrit BL=BL(Ω) au lieu de BL 1 (L 2 (Ω)). La première partie est consacrée aux propriétés générales des espaces BL 1 (E) ; la seconde associe à toute fonction FBL(Ω) une fonction “précisée”, définie partout sauf sur un ensemble de capacité extérieure nulle ; la troisième aborde l’étude des BL m (E). Parmi les résultats principaux, signalons : 1) l’espace séparé associé à BL m (E) est complet ; 2) si n>2, l’espace D ^ 1 (Ω), complété de D(Ω) pour la norme ϕ 1 =( Ω | grad ϕ| 2 dx) 1/2 est un espace de distributions. Si n=2, il en est encore ainsi, si et seulement si, Ω est de complémentaire non polaire ; 3) pour que le problème de Neumann relatif à un ouvert connexe borné Ω et à l’équation Δu=0 soit possible (en un certain sens) il faut et il suffit que Ω soit un ouvert de Nikodym (i.e. toute FBL(Ω) est dans L 2 (Ω)) ; 4) pour qu’une FBL(Ω) soit dans D ^ 1 (Ω), il faut et il suffit qu’une fonction “précisée” F * , associée à F, admette la pseudo-limite 0 quasi partout à la frontière, et à l’infini si n>2 et Ω non borné, etc.
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Deny, Jacques; Lions, Jacques-Louis. Les espaces du type de Beppo Levi. Annales de l'Institut Fourier, Tome 5 (1954) pp. 305-370. doi : 10.5802/aif.55. http://www.numdam.org/item/AIF_1954__5__305_0/

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