Comparaison de la définition classique de l’énergie d’une mesure positive et de deux autres définitions introduites par l’auteur dans son travail des Acta Mathematica (1950), auquel cet article apporte des compléments et une rectification. Les noyaux considérés sont des mesures positives satisfaisant toujours à la condition (A) : la transformée de Fourier (au sens de L. Schwartz) de est une fonction positive dont l’inverse est à croissance lente ; et éventuellement à la condition de régularité (B) : est une fonction positive continue pour tout , finie pour , et satisfaisant au théorème de Evans-Vasilesco : la continuité de la restriction du potentiel au support de (supposé compact) entraîne la continuité du potentiel dans l’espace tout entier.
On considère les trois définitions de l’énergie d’une :
(I)
(c’est la définition classique, qui a un sens si est une fonction borélienne ).
(II) Si la mesure composée ( mesure symétrique de ) existe et est à densité continue , on pose () ; sinon .
(III) Si la transformée de Fourier est une fonction de carré sommable par rapport à la mesure de densité , on pose ; sinon .
Voici alors les résultats essentiels : pour un noyau satisfaisant seulement à (A), entraîne , et l’espace de ces mesures est complet pour la norme . Si le noyau satisfait également à (B), on a toujours . La question de savoir s’il existe des mesures satisfaisant à n’est pas résolue ; elle se pose d’ailleurs seulement pour les mesures dont le support n’est pas compact. Une réponse négative est donnée sans démonstration dans le cas de certains noyaux classiques.
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TY - JOUR AU - Deny, Jacques TI - Sur la définition de l'énergie en théorie du potentiel JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1950 SP - 83 EP - 99 VL - 2 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.22/ DO - 10.5802/aif.22 LA - fr ID - AIF_1950__2__83_0 ER -
Deny, Jacques. Sur la définition de l'énergie en théorie du potentiel. Annales de l'Institut Fourier, Volume 2 (1950), pp. 83-99. doi : 10.5802/aif.22. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.22/
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