Superspecial rank of supersingular abelian varieties and Jacobians

Achter, Jeffrey D.; Pries, Rachel

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 3, pp. 605-624.

Une variété abélienne définie sur un corps $k$ algébrique-ment clos de caractéristique positive est supersingulière si elle est isogène à un produit de courbes elliptiques supersingulières et est superspéciale si elle est isomorphe à un produit de courbes elliptiques supersingulières. Dans cet article, la condition d’être superspéciale est généralisée en définissant le rang superspécial d’une variété abélienne, qui est un invariant de sa $p$-torsion. Les principaux résultats de cet article concernent le rang superspécial des variétés abéliennes et des jacobiennes de courbes supersingulières. Il s’avère par exemple que le rang superspécial donne des informations sur la décomposition d’une variété abélienne à isomorphisme près ; plus précisément celui-ci est une limite supérieure pour le nombre maximal de courbes elliptiques supersingulières apparaissant dans une telle décomposition.

An abelian variety defined over an algebraically closed field $k$ of positive characteristic is supersingular if it is isogenous to a product of supersingular elliptic curves and is superspecial if it is isomorphic to a product of supersingular elliptic curves. In this paper, the superspecial condition is generalized by defining the superspecial rank of an abelian variety, which is an invariant of its $p$-torsion. The main results in this paper are about the superspecial rank of supersingular abelian varieties and Jacobians of curves. For example, it turns out that the superspecial rank determines information about the decomposition of a supersingular abelian variety up to isomorphism; namely it is a bound for the maximal number of supersingular elliptic curves appearing in such a decomposition.

[1] M. H. Baker, « Cartier points on curves », Internat. Math. Res. Notices (2000), no. 7, p. 353-370. | MR | Zbl

[2] R. M. Crew, « Etale $p$-covers in characteristic $p$ », Compositio Math. 52 (1984), no. 1, p. 31-45. | Numdam | MR | Zbl

[3] N. Dummigan, « The determinants of certain Mordell-Weil lattices », Amer. J. Math. 117 (1995), no. 6, p. 1409-1429. | MR | Zbl

[4] —, « Complete $p$-descent for Jacobians of Hermitian curves », Compositio Math. 119 (1999), no. 2, p. 111-132. | MR

[5] T. Ekedahl, « On supersingular curves and abelian varieties », Math. Scand. 60 (1987), no. 2, p. 151-178. | MR | Zbl

[6] A. Elkin & R. Pries, « Ekedahl-Oort strata of hyperelliptic curves in characteristic 2 », Algebra Number Theory 7 (2013), no. 3, p. 507-532. | MR | Zbl

[7] H. Friedlander, D. Garton, B. Malmskog, R. Pries & C. Weir, « The $a$-numbers of Jacobians of Suzuki curves », Proc. Amer. Math. Soc. 141 (2013), no. 9, p. 3019-3028. | MR

[8] G. van der Geer & M. van der Vlugt, « Reed-Muller codes and supersingular curves. I », Compositio Math. 84 (1992), no. 3, p. 333-367. | Numdam | MR | Zbl

[9] —, « On the existence of supersingular curves of given genus », J. Reine Angew. Math. 458 (1995), p. 53-61. | MR

[10] B. H. Gross, « Group representations and lattices », J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), no. 4, p. 929-960. | MR | Zbl

[11] J. P. Hansen, « Deligne-Lusztig varieties and group codes », in Coding theory and algebraic geometry (Luminy, 1991), Lecture Notes in Math., vol. 1518, Springer, Berlin, 1992, p. 63-81. | MR | Zbl

[12] N. Jacobson, The Theory of Rings, American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. II, American Mathematical Society, New York, 1943, vi+150 pages. | MR | Zbl

[13] A. J. de Jong & F. Oort, « Purity of the stratification by Newton polygons », J. Amer. Math. Soc. 13 (2000), no. 1, p. 209-241. | MR | Zbl

[14] H. Kraft, « Kommutative algebraische p-Gruppen (mit Anwendungen auf p-divisible Gruppen und abelsche Varietäten) », manuscript, University of Bonn, September 1975, 86 pp.

[15] H. W. Lenstra, Jr. & F. Oort, « Simple abelian varieties having a prescribed formal isogeny type », J. Pure Appl. Algebra 4 (1974), p. 47-53. | MR | Zbl

[16] K. Z. Li, « Classification of supersingular abelian varieties », Math. Ann. 283 (1989), no. 2, p. 333-351. | MR | Zbl

[17] K.-Z. Li & F. Oort, Moduli of supersingular abelian varieties, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1680, Springer-Verlag, Berlin, 1998, iv+116 pages. | MR | Zbl

[18] J. I. Manin, « Theory of commutative formal groups over fields of finite characteristic », Uspehi Mat. Nauk 18 (1963), no. 6 (114), p. 3-90. | MR | Zbl

[19] B. Moonen, « Group schemes with additional structures and Weyl group cosets », in Moduli of abelian varieties (Texel Island, 1999), Progr. Math., vol. 195, Birkhäuser, Basel, 2001, p. 255-298. | MR | Zbl

[20] N. O. Nygaard, « Slopes of powers of Frobenius on crystalline cohomology », Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 14 (1981), no. 4, p. 369-401 (1982). | Numdam | MR | Zbl

[21] T. Oda, « The first de Rham cohomology group and Dieudonné modules », Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 2 (1969), p. 63-135. | Numdam | MR | Zbl

[22] T. Oda & F. Oort, « Supersingular abelian varieties », in Proceedings of the International Symposium on Algebraic Geometry (Kyoto Univ., Kyoto, 1977), Kinokuniya Book Store, Tokyo, 1978, p. 595-621. | MR | Zbl

[23] A. Ogus, « Supersingular $K3$ crystals », in Journées de Géométrie Algébrique de Rennes (Rennes, 1978), Vol. II, Astérisque, vol. 64, Soc. Math. France, Paris, 1979, p. 3-86. | Numdam | MR | Zbl

[24] F. Oort, « Subvarieties of moduli spaces », Invent. Math. 24 (1974), p. 95-119. | MR | Zbl

[25] —, « Which abelian surfaces are products of elliptic curves? », Math. Ann. 214 (1975), p. 35-47. | MR

[26] —, « A stratification of a moduli space of abelian varieties », in Moduli of abelian varieties (Texel Island, 1999), Progr. Math., vol. 195, Birkhäuser, Basel, 2001, p. 345-416. | MR

[27] —, « Abelian varieties isogenous to a Jacobian », Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 113 (2005), p. 165-172.

[28] —, « Minimal $p$-divisible groups », Ann. of Math. (2) 161 (2005), no. 2, p. 1021-1036. | MR

[29] R. Pries & C. Weir, « Ekedahl-Oort type of Jacobians of Hermitian curves », to appear in Asian J. Math., . | arXiv

[30] H.-G. Rück & H. Stichtenoth, « A characterization of Hermitian function fields over finite fields », J. Reine Angew. Math. 457 (1994), p. 185-188. | MR | Zbl

[31] J. Scholten & H. J. Zhu, « Hyperelliptic curves in characteristic 2 », Int. Math. Res. Not. (2002), no. 17, p. 905-917. | MR | Zbl

[32] J.-P. Serre, Corps locaux, Hermann, Paris, 1968, Deuxième édition, Publications de l’Université de Nancago, No. VIII, 245 pages. | MR | Zbl

[33] T. Shioda, « Some remarks on Abelian varieties », J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 24 (1977), no. 1, p. 11-21. | MR | Zbl

[34] D. Subrao, « The $p$-rank of Artin-Schreier curves », Manuscripta Math. 16 (1975), no. 2, p. 169-193. | MR | Zbl

[35] J. Tate, « Endomorphisms of abelian varieties over finite fields », Invent. Math. 2 (1966), p. 134-144. | MR | Zbl

[36] D. L. Ulmer, « $p$-descent in characteristic $p$ », Duke Math. J. 62 (1991), no. 2, p. 237-265. | MR | Zbl