Comparison between the fundamental group scheme of a relative scheme and that of its generic fiber

Antei, Marco

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 22 (2010) no. 3, pp. 537-555.

On montre que le morphisme canonique $\varphi :{\pi }_1(X_{\eta },x_{\eta })\to {\pi }_1{(X,x)}_{\eta }$ entre le schéma en groupes fondamental de la fibre générique $X_{\eta }$ d’un schéma $X$ sur un schéma de Dedekind connexe et la fibre générique du schéma en groupes fondamental de $X$ est toujours fidèlement plat. On donnera ensuite des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un $G$-torseur fini, dominé et pointé au dessus de $X_{\eta }$ puisse être étendu sur $X$. On décrira des exemples où $\varphi :{\pi }_1(X_{\eta },x_{\eta })\to {\pi }_1{(X,x)}_{\eta }$ est un isomorphisme.

We show that the natural morphism $\varphi :{\pi }_1(X_{\eta },x_{\eta })\to {\pi }_1{(X,x)}_{\eta }$ between the fundamental group scheme of the generic fiber $X_{\eta }$ of a scheme $X$ over a connected Dedekind scheme and the generic fiber of the fundamental group scheme of $X$ is always faithfully flat. As an application we give a necessary and sufficient condition for a finite, dominated pointed $G$-torsor over $X_{\eta }$ to be extended over $X$. We finally provide examples where $\varphi :{\pi }_1(X_{\eta },x_{\eta })\to {\pi }_1{(X,x)}_{\eta }$ is an isomorphism.

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