Problème de Lehmer sur ${𝔾}_m$ et méthode des pentes

Ratazzi, Nicolas

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 19 (2007) no. 1, pp. 231-248

Soit $h$ la hauteur logarithmique absolue de Weil sur ${\overline{\mathbb{Q}}}^{\times }$. En utilisant l’inégalité des pentes de J.-B. Bost, nous donnons dans cet article une preuve du résultat suivant dû à Dobrowolski : il existe une constante $c>0$ telle que

$$\forall x\in {𝔾}_m\left(\overline{\mathbb{Q}}\right)\setminus {\mu }_{\infty }h\left(x\right)\ge \frac{c}{D}{\left(\frac{loglog3D}{log2D}\right)}^3,$$

avec $D=\left[\mathbb{Q}\right(x):\mathbb{Q}]$ et où ${\mu }_{\infty }$ représente le groupe des racines de l’unité.

Let $h$ be the usual absolute logarithmic Weil height on ${\overline{\mathbb{Q}}}^{\times }$. Using the slopes inequality of J.-B. Bost, we give in this article a proof of the following result of Dobrowolski [4] : there exists a constant $c>0$ such that

$$\forall x\in {𝔾}_m\left(\overline{\mathbb{Q}}\right)\setminus {\mu }_{\infty }h\left(x\right)\ge \frac{c}{D}{\left(\frac{loglog3D}{log2D}\right)}^3,$$

where $D=\left[\mathbb{Q}\right(x):\mathbb{Q}]$ and where ${\mu }_{\infty }$ denote the group of roots of unity.

[1] F. Amoroso, S. David, Le problème de Lehmer en dimension supérieure. J. reine angew. Math. 513 (1999), pages 145–179. | Zbl | MR

[2] J.-B. Bost, Périodes et isogénies des variétés abéliennes sur les corps de nombres (d’après D. Masser et G. Wüstholz). Séminaire Bourbaki 237, pages 115–161. Astérisque, 1996. | Zbl | Numdam

[3] J.-B. Bost, Algebraic leaves of algebraic foliations over number fields. Publications mathématiques de l’IHÉS 93 (2001), pages 161–221. | Zbl | Numdam

[4] E. Dobrowolski On a question of Lehmer and the number of irreductible factors of a polynomial. Acta Arith. 34 (1979), pages 391–401. | Zbl | MR

[5] M. Laurent, Minoration de la hauteur de Néron-Tate. In M.-J. Bertin, editor, Séminaire de théorie des nombres de Paris 38 ( 1981-1982), pages 137–152. Progr. Math., 1983. | Zbl | MR

[6] A. Schinzel, On the product of the conjugates outside the unit circle of an algebraic number. Acta Arith. 24 (1973), pages 385–399. | Zbl | MR

[7] C.J. Smyth, On the product of conjugates outside the unit circle of an algebraic integer. Bulletin of the London Math. Soc. 3 (1971), pages 169–175. | Zbl | MR

[8] P. Voutier, An effective lower bound for the height of algebraic numbers. Acta Arith. 74(1) (1996), pages 81–95. | Zbl | MR