Factoring Gleason polynomials modulo 2

Buff, Xavier; Floyd, William; Koch, Sarah; Parry, Walter

doi:10.5802/jtnb.1228

Buff, Xavier ¹ ; Floyd, William ² ; Koch, Sarah ³ ; Parry, Walter ⁴

¹ Institut de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier 118, route de Narbonne 31062 Toulouse Cedex, France
² Department of Mathematics Virginia Tech Blacksburg, VA 2406, U.S.A.
³ Department of Mathematics University of Michigan Ann Arbor, MI 48109, U.S.A.
⁴ Department of Mathematics and Statistics Eastern Michigan University Ypsilanti, MI 48197, U.S.A.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 3, pp. 787-812.

Résumé
Abstract

Parmi les composantes connexes de l’intérieur de l’ensemble de Mandelbrot, on trouve celles qui sont hyperboliques. Ces composantes correspondent aux paramètres $c \in ℂ$ pour lesquels le point critique $z_{0} = 0$ du polynôme $f_{c} : z \mapsto z^{2} + c$ est attiré par un cycle attractif. Chaque composante hyperbolique contient un unique centre ; c’est le paramètre $c$ pour lequel $z_{0}$ est périodique. Étant donné un entier $n \geq 1$ , le polynôme de Gleason de période $n$ est le polynôme unitaire $G_{n} \in ℤ [c]$ dont les racines sont précisément les centres des composantes hyperboliques de période $n$ . On ne sait pas si $G_{n}$ se factorise sur $ℤ$ . Dans cet article, nous factorisons $G_{n}$ modulo $2$ . Nous prouvons le fait remarquable suivant : le nombre de facteurs irréductibles de $G_{n}$ modulo $2$ est égal au nombre de racines réelles de $G_{n}$ .

Among the connected components of the interior of the Mandelbrot set are those that are hyperbolic. These components consist of parameters $c \in ℂ$ for which the critical point $z_{0} = 0$ of $f_{c} : z \mapsto z^{2} + c$ is attracted to an attracting periodic cycle. Every hyperbolic component contains a unique center; that is, a parameter $c$ for which the critical point $z_{0}$ is periodic. For a given $n \geq 1$ , the Gleason polynomial for period $n$ is the monic polynomial $G_{n} \in ℤ [c]$ whose roots are exactly the centers of the hyperbolic components of period $n$ . It is unknown if $G_{n}$ factors over $ℤ$ . In this article, we factor $G_{n}$ modulo $2$ . We prove the following remarkable fact: the number of irreducible factors of $G_{n}$ modulo $2$ is equal to the number of real roots of $G_{n}$ .

Reçu le : 2021-05-16
Révisé le : 2022-08-23
Accepté le : 2022-10-21
Publié le : 2023-01-27

DOI : 10.5802/jtnb.1228

Classification : 37F10, 37P35, 37P05
Mots clés : Mandelbrot set, hyperbolic component, Gleason polynomial

Affiliations des auteurs :

Buff, Xavier ¹ ; Floyd, William ² ; Koch, Sarah ³ ; Parry, Walter ⁴

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Buff, Xavier; Floyd, William; Koch, Sarah; Parry, Walter. Factoring Gleason polynomials modulo 2. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 3, pp. 787-812. doi : 10.5802/jtnb.1228. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.1228/

Bibliographie
Cité par

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Cité par Sources :