Équation de Pell–Abel et applications

Gendron, Quentin

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 360 (2022) no. G9, pp. 975-992.

Dans cet article, je montrerai que l’équation de Pell–Abel possède une solution de degré $r$ sur une courbe hyperelliptique de genre $g$ si et seulement si $r>g$. Ce résultat est connu des experts, mais il possède des conséquences intéressantes, qui ne semblent pas connues. Tout d’abord, cela implique l’existence d’une $k$-différentielle primitive avec un unique zéro d’ordre $k(2g-2)$ sur une courbe hyperelliptique de genre $g$ pour tout $(k,g)\ne (2,2)$. De plus, cela implique qu’il existe des courbes hyperelliptiques avec un point qui n’est pas de Weierstrass et qui est d’ordre $n$ modulo un point de Weierstrass si et seulement si $n>2g$.

In this paper, we show that there are solutions of degree $r$ of the equation of Pell–Abel on some real hyperelliptic curve of genus $g$ if and only if $r>g$. This result, which is known to the experts, has consequences, which seem to be unknown to the experts. First, we deduce the existence of a primitive $k$-differential on an hyperelliptic curve of genus $g$ with a unique zero of order $k(2g-2)$ for every $(k,g)\ne (2,2)$. Moreover, we show that there exists a non Weierstrass point of order $n$ modulo a Weierstrass point on a hyperelliptic curve of genus $g$ if and only if $n>2g$.

Classification : 30F30, 30C30, 14H40

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