Examples of K-unstable Fano manifolds

Delcroix, Thibaut

Annales de l'Institut Fourier, Tome 72 (2022) no. 5, pp. 2079-2108.

Nous considérons différents exemples de variétés horosymétriques qui possèdent des propriétés intéressantes pour l’étude de métriques canoniques. En particulier, nous déterminons quand l’éclatement d’une quadrique le long d’une sous-quadrique linéaire admet une métrique de Kähler–Einstein, ce qui fournit une infinité d’exemples de variétés de Fano lisses sans solitons de Kähler–Ricci et qui ne sont pas K-semistables. Au moyen d’une construction différente, nous construisons une famille infinie de variétés de Fano sans métriques de Kähler–Einstein qui admettent des métriques de Kähler–Einstein couplées. Enfin, nous mentionnons un lien possible entre solitons de Kähler–Ricci et des familles plus générales de structures multiplicative hermitiennes, et illustrons ce phénomène avec des exemples liés aux familles précédentes.

We examine various examples of horosymmetric manifolds which exhibit interesting properties with respect to canonical metrics. In particular, we determine when the blow-up of a quadric along a linear subquadric admits Kähler–Einstein metrics, providing infinitely many examples of manifolds with no Kähler–Ricci solitons that are not K-semistable. Using a different construction, we provide an infinite family of Fano manifolds with no Kähler–Einstein metrics but which admit coupled Kähler–Einstein metrics. Finally, we elaborate on the relationship between Kähler–Ricci solitons and the more general concept of multiplier Hermitian structures and illustrate this with examples related to the two previous families.

Classification : 14M27, 32Q20
Keywords: K-stability, Fano manifold, Kähler–Einstein metrics, Mabuchi soliton, horosymmetric varieties
Mot clés : K-stabilité, variétés de Fano, métriques de Kähler–Einstein, solitons de Mabuchi, variétés horosymétriques

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