Let be a discrete valuation ring. Let be a proper and faithfully flat -scheme, endowed with a section , with integral and normal fibres. Let be a finite Nori-reduced -torsor. In this paper we provide a useful criterion to extend to a torsor over . Furthermore in the particular situation where is a complete discrete valuation ring of residue characteristic and is smooth we apply our criterion to prove that the natural morphism between the prime-to- fundamental group scheme of and the generic fibre of the prime-to- fundamental group scheme of is an isomorphism. This generalizes a well known result for the étale fundamental group. The methods used are purely tannakian.
Soit un anneau de valuation discrète. Soit un -schéma propre et fidèlement plat, muni d’une section , ayant des fibres intègres et normales. Soit un -torseur fini et Nori-réduit. Dans cet article on introduit une condition suffisante pour étendre en un torseur au dessus de . De plus, lorsque est complet de caractéristique résiduelle et est lisse, nous utilisons notre méthode pour démontrer que le morphisme naturel entre la partie première à du schéma en groupe fondamental de et la fibre générique de la partie première à du schéma en groupes fondamental de est un isomorphisme. Cela généralise un résultat bien connu pour le groupe fondamental étale. Les méthodes utilisées sont purement tannakiennes.
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Keywords: torsors, affine group schemes, models, prime to $p$ torsors.
Mot clés : torseurs, schémas en groupes affines, modèles, torseurs premiers à $p$
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Antei, Marco; Calvo-Monge, Jimmy. Extension of torsors and prime to $p$ fundamental group scheme. Annales de l'Institut Fourier, Volume 72 (2022) no. 1, pp. 367-386. doi : 10.5802/aif.3475. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.3475/
[1] Comparison between the fundamental group scheme of a relative scheme and that of its generic fiber, J. Théor. Nombres Bordeaux, Volume 22 (2008) no. 3, pp. 537-555 | DOI | MR | Zbl
[2] On the abelian fundamental group scheme of a family of varieties, Isr. J. Math., Volume 186 (2011), pp. 427-446 | DOI | MR | Zbl
[3] Nori fundamental gerbe of essentially finite covers and Galois closure of towers of torsors, Sel. Math., New Ser., Volume 25 (2019) no. 2, 18, 37 pages | MR | Zbl
[4] Models of torsors and the fundamental group scheme, Nagoya Math. J., Volume 230 (2018), pp. 18-34 | DOI | MR | Zbl
[5] Sur l’existence du schéma en groupes fondametal, Épijournal de Géom. Algébr., EPIGA, Volume 4 (2020), 5, 15 pages | Zbl
[6] Vector bundles trivialized by proper morphisms and the fundamental group scheme, J. Inst. Math. Jussieu, Volume 10 (2011) no. 2, pp. 225-234 | DOI | MR | Zbl
[7] Tannakian duality over Dedekind rings and applications, Math. Z., Volume 288 (2018) no. 3-4, pp. 1103-1142 | DOI | MR | Zbl
[8] Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale de schémas et de morphismes de schémas, Seconde partie, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 24 (1965), pp. 5-231 | Numdam | Zbl
[9] Revêtements étales et groupe fondamental. Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960-61 (SGA 1) (Grothendieck, Alexander, ed.), Documents Mathématiques, 3, Société Mathématique de France, 2003
[10] Finite torsors on projective schemes defined over a discrete valuation ring (2019) (https://arxiv.org/abs/1904.10659)
[11] Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, Springer, 1977 | DOI
[12] On the representations of the Fundamental Group, Compos. Math., Volume 33 (1976) no. 1, pp. 29-41 | Numdam | MR | Zbl
[13] The fundamental group scheme, Proc. Indian Acad. Sci., Math. Sci., Volume 91 (1982) no. 2, pp. 73-122 | DOI | MR | Zbl
[14] Corps Locaux, Publications de l’Institut de Mathématique de l’Université de Nancago, 8, Hermann, 1968
[15] Stack project, 2015 (http://stacks.math.columbia.edu)
[16] Galois Groups and Fundamental Groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 117, Cambridge University Press, 2009 | DOI
[17] Essentially finite vector bundles on normal pseudo-proper algebraic stacks, Doc. Math., Volume 25 (2020), pp. 159-169 | MR | Zbl
[18] On finitely generated flat modules, Trans. Am. Math. Soc., Volume 138 (1969), pp. 505-512 | DOI | MR
[19] On Tannakian duality over valuation rings, J. Algebra, Volume 282 (2004) no. 2, pp. 575-609 | DOI | MR | Zbl
[20] The homotopy sequence of Nori’s fundamental group, J. Algebra, Volume 393 (2013) no. 1, pp. 79-91 | DOI | MR | Zbl
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