Tempered distributions and Fourier transform on the Heisenberg group

Bahouri, Hajer; Chemin, Jean-Yves; Danchin, Raphaël

Annales Henri Lebesgue, Tome 1 (2018), pp. 1-46.

Dans cet article, on s’intéresse à l’extension de la transformation de Fourier sur le groupe de Heisenberg ${ℍ}^d$, aux distributions tempérées. Notre but est de donner au lecteur un cadre adapté à l’étude de l’analyse de Fourier et des EDP sur ${ℍ}^d$.

Comme dans ${ℝ}^n$, il s’agit en premier lieu de montrer que la transformation de Fourier est un isomorphisme sur l’espace de Schwartz, puis d’étendre sa définition par dualité aux distributions tempérées. Pour ce faire, on définit la transformée de Fourier d’une fonction intégrable comme étant une fonction uniformément continue sur l’ensemble ${\widetilde{ℍ}}^d={\mathbb{N}}^d\times {\mathbb{N}}^d\times ℝ\setminus \left\{0\right\}$, qui peut être complété en un ensemble ${\widetilde{ℍ}}^d$ pour une distance adéquate. Ce point de vue donne une caractérisation simple de l’image de l’espace de Schwartz sur ${ℍ}^d$ par la transformation de Fourier, permettant ainsi d’étendre sa définition à l’ensemble des distributions tempérées.

Pour illustrer la puissance de notre approche, on donne quelques exemples de calculs explicites de transformées de Fourier de fonctions ou distributions tempérées qui ne correspondent pas à des fonctions intégrables ou de carrés intégrables. Le plus spectaculaire est l’obtention d’une formule explicite pour la transformée de Fourier de fonctions régulières indépendantes de la variable verticale. Pour répondre à cette question de façon simple, avoir pris le soin de le compléter au préalable l’espace des fréquences ${\widetilde{ℍ}}^d$ s’avère fondamental.

We aim at extending the Fourier transform on the Heisenberg group ${ℍ}^d$, to tempered distributions. Our motivation is to provide the reader with a hands-on approach that allows for further investigating Fourier analysis and PDEs on ${ℍ}^d$.

As in the Euclidean setting, the strategy is to show that the Fourier transform is an isomorphism on the Schwartz space, then to define the extension by duality. To achieve it, the Fourier transform of an integrable function is viewed as a uniformly continuous mapping on the set ${\widetilde{ℍ}}^d={\mathbb{N}}^d\times {\mathbb{N}}^d\times ℝ\setminus \left\{0\right\}$, that may be completed to a larger set ${\widetilde{ℍ}}^d$ for some suitable distance. This viewpoint provides a user friendly description of the range of the Schwartz space on ${ℍ}^d$ by the Fourier transform, which makes the extension to the whole set of tempered distributions straightforward.

To highlight the strength of our approach, we give examples of computations of Fourier transforms of tempered distributions that do not correspond to integrable or square integrable functions. The most striking one is a formula for the Fourier transform of functions on ${ℍ}^d$ that are independent of the vertical variable, an open question, to the best of our knowledge.

Classification : 43A30, 43A80
Mots clés : Fourier transform, Heisenberg group, frequency space, tempered distributions, Schwartz space

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