Asymptotic laws for geodesic homology on hyperbolic manifolds with cusps

Babillot, Martine; Peigné, Marc

Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 1, pp. 119-163.

We consider a large class of non compact hyperbolic manifolds $M={ℍ}^n/\Gamma$ with cusps and we prove that the winding process $\left(Y_t\right)$ generated by a closed $1$-form supported on a neighborhood of a cusp $𝒞$, satisfies a limit theorem, with an asymptotic stable law and a renormalising factor depending only on the rank of the cusp $𝒞$ and the Poincaré exponent $\delta$ of $\Gamma$. No assumption on the value of $\delta$ is required and this theorem generalises previous results due to Y. Guivarc’h, Y. Le Jan, J. Franchi and N. Enriquez.

Nous considérons une large classe de variétés hyperboliques non-compactes $M={ℍ}^n/\Gamma$ possédant des cusps et nous démontrons que le processus $\left(Y_t\right)$ engendré par une forme fermée portée par un voisinage d’un cusp $𝒞$ converge en loi vers une loi stable ; la loi limite et le facteur de renormalisation dépendent de la nature du cusp et de l’exposant de Poincaré $\delta$ du groupe $\Gamma$. Aucune restriction sur la valeur de $\delta$ n’est imposée et cet article généralise ainsi toute une série de résultats dus à Y. Guivarc’h, Y. Le Jan, J. Franchi et N. Enriquez.

Classification: 58F17, 58F20, 20H10
Keywords: geodesic flow, asymptotic winding, hyperbolic manifolds, central limit theorem, stable law, transfer operator
Mot clés : flot géodésique, enroulement asymptotique, variétés hyperboliques, théorème limite central, lois stables, opérateurs de transfert

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