Masse des pointes, temps de retour et enroulements en courbure négative

Enriquez, Nathanaël; Franchi, Jacques

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 3, pp. 349-386.

Soient $\Gamma$ un groupe discret géométriquement fini d’isométries d’une variété de Hadamard pincée $X$ et $𝒫$ une pointe de l’orbifold associé $ℳ:=\Gamma \setminus X$. Munissant $T^1ℳ$ de sa mesure de Patterson-Sullivan $m$, nous obtenons une estimation asymptotique de la masse d’un petit voisinage horocyclique de $𝒫$, moyennant une hypothèse sur la croissance du sous-groupe parabolique associé à $𝒫$, hypothèse qui est réalisée si $X$ est symétrique de rang $1$. Nous en déduisons une estimation asymptotique du temps de retour du flot géodésique près de $𝒫$, et de la loi de la durée d’une excursion du flot géodésique près de $𝒫$. Dans le cas particulier des orbifolds hyperboliques réels ou complexes, nous précisons ces estimations, et nous calculons de plus la loi asymptotique de l’enroulement d’une excursion du flot géodésique près de $𝒫$.

Let $\Gamma$ be a geometrically finite discrete group of isometries of a Hadamard manifold $X$, and $𝒫$ a cusp of the orbifold associated to $ℳ:=\Gamma \setminus X$. $T^1ℳ$ being endowed with its Bowen-Margulis-Patterson-Sullivan $m$, we obtain the asymptotic of the mass of a small horocyclic neighbourhood of $𝒫$, after introducing an assumption on the growth of the parabolic neighbourhood associated with $𝒫$, which is automatically verified when $X$ is symmetric of rank 1. We deduce the asymptotic of the time of return of the geodesic flow near $𝒫$. In the special case of real and complex hyperbolic orbifolds, we precise these asymptotics, and we compute also the asmptotic law of the winding of the geodesic flow near $𝒫$.

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