Plongements bilipschitziens dans les espaces euclidiens, $Q$-courbure et flot quasi-conforme

Pajot, Hervé

Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Tome 25 (2006-2007), pp. 149-158

Soit $g_0$ la métrique riemannienne standard sur ${ℝ}^4$ et soit $g=e^{2u}$ une déformation conforme lisse de $g_0$. Nous présentons une condition suffisante en terme de $Q$-courbure pour que la variété $({ℝ}^4,g)$ se plonge de façon bilipschitzienne, en tant qu’espace métrique, dans $({ℝ}^4,g_0)$. Ce théorème du à Bonk, Heinonen et Saksman découle d’un résultat lié au problème du jacobien quasiconforme.

[1] P. Assouad,Plongements bilipschitziens dans ${ℝ}^n$, Bulletin de la Société Mathématique de France 111 (1983), 429–448. | Zbl | MR | Numdam | EuDML

[2] K. Astala, Planar quasiconformal mappings, deformations and interactions, dans Quasiconformal mappings and analysis (Ann Arbor, 1995), Springer (1998), 33–54 | Zbl | MR

[3] M. Bonk, J. Heinonen, E. Saksman, The quasiconformal jacobian problem, In the tradition of Ahlfors and Bers III, Contemporary Mathematics 355 (2004), 77–96. | Zbl | MR

[4] M. Bonk, J. Heinonen, E. Saksman, Logarithmic potentials, quasiconformal flows, and $Q$-curvature, à paraitre dans Duke Mathematical Journal. | MR

[5] M. Bonk, U. Lang, Bi-lipschitz parameterization of surfaces, Mathematische Annalen 327 (2003), 135–169. | Zbl | MR

[6] A. Chang, Non linear elliptic equations in conformal geometry, Zürich Lectures in Advanced Mathematics, European Mathematical Society (2004) | Zbl | MR

[7] A. Chang, J. Qing, P. Yang, On the Chern-Gauss-Bonnet integral for conformal metrics on ${ℝ}^4$, Duke Mathematical Journal 103 (2000), 523–544. | Zbl | MR

[8] J. Cheeger, Differentiability of Lipschitz functions on metric measure spaces, Geometric and functional analysis 9 (1999), 428-517. | Zbl | MR

[9] J. Cheeger, B. Kleiner, On the differentiability of Lipschitz maps from metric measure spaces to Banach spaces, Inspired by S.S. Chern, Nankai Tracts in Mathematics 11 (2006), World Sciences publishing, 129-152. | MR

[10] Z. Djadli, Opérateurs géométriques et géométrie conforme, Actes du séminaire de théorie spectrale et géométrie 23 (2005), Université Grenoble 1, 49–103 | Zbl | MR | Numdam

[11] S. Donaldson, D. Sullivan, Quasiconformal $4$-manifolds, Acta Mathematica 163 (1999), 181-252. | Zbl | MR

[12] J. Fu, Bi-Lipschitz rough normal coordinates for surfaces with an $L^1$ curvature, Indiana University Journal 47 (1998), 439–453. | Zbl | MR

[13] M. Gromov, V. Rohlin, Embeddings and immersions in Riemannian Geometry, Russian Mathematical Survey 25 (1970), 1–57. | Zbl | MR

[14] J. Heinonen, Lectures on analysis on metric spaces, Universitext, Springer (2001). | Zbl | MR

[15] T. Iwaniec, G. Martin, Quasiregular mappings in even dimensions, Acta Mathematica 170 (1992), 29–81. | Zbl | MR

[16] P. Pansu, Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang $1$, Annals of Mathematics 129 (1989), 1–60. | Zbl | MR

[17] S. Semmes, On the non existence of bi-Lipschitz parameterizations and geometric problems about $A_{\infty }$-weights, Revista Matematica Iberoamericana 12 (1996), 337-410. | Zbl | MR

[18] T. Toro, Surfaces with generalized second fundamental in $L^2$ are Lipschitz manifolds, Journal of Differential Geometry 39 (1994), 65–101. | Zbl | MR

[19] T. Toro, Geometric conditions and existence of bi-Lipschitz parametrizations, Duke Mathematical Journal 77 (1995), 193–227. | Zbl | MR

[20] J. Väisälä, Lectures on $n$-dimensional quasiconformal mappings, Lectures Notes in Mathematics Volume 229 (1971). | MR