Binary quadratic forms and Eichler orders

Alsina, Montserrat

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 17 (2005) no. 1, pp. 13-23

For any Eichler order $𝒪(D,N)$ of level $N$ in an indefinite quaternion algebra of discriminant $D$ there is a Fuchsian group $\Gamma (D,N)\subseteq SL(2,ℝ)$ and a Shimura curve $X(D,N)$. We associate to $𝒪(D,N)$ a set $\mathscr{H}\left(𝒪\right(D,N\left)\right)$ of binary quadratic forms which have semi-integer quadratic coefficients, and we develop a classification theory, with respect to $\Gamma (D,N)$, for primitive forms contained in $\mathscr{H}\left(𝒪\right(D,N\left)\right)$. In particular, the classification theory of primitive integral binary quadratic forms by $SL(2,\mathbb{Z})$ is recovered. Explicit fundamental domains for $\Gamma (D,N)$ allow the characterization of the $\Gamma (D,N)$-reduced forms.

Pour tout ordre d’Eichler $𝒪(D,N)$ de niveau $N$ dans une algèbre de quaternions indéfinie de discriminant $D$, il existe un groupe Fuchsien $\Gamma (D,N)\subseteq SL(2,ℝ)$ et une courbe de Shimura $X(D,N)$. Nous associons à $𝒪(D,N)$ un ensemble $\mathscr{H}\left(𝒪\right(D,N\left)\right)$ de formes quadratiques binaires ayant des coefficients semi-entiers quadratiques et developpons une classification des formes quadratiques primitives de $\mathscr{H}\left(𝒪\right(D,N\left)\right)$ pour rapport à $\Gamma (D,N)$. En particulier nous retrouvons la classification des formes quadratiques primitives et entières de $SL(2,\mathbb{Z})$. Un domaine fondamental explicite pour $\Gamma (D,N)$ permet de caractériser les $\Gamma (D,N)$ formes réduites.

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