no. 2
More on inhomogeneous diophantine approximation
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 539-557

For an irrational real numberα and real number γ we consider the inhomogeneous approximation constant

M(α,γ):=lim inf |n|→∞ |n|||nα-γ||
via the semi-regular negative continued fraction expansion of α
α=1 a 1 -1 a 2 -1 a 3 -⋯
and an appropriate alpha-expansion of γ. We give an upper bound on the case of worst inhomogeneous approximation,
ρ(α):=sup γ∉𝐙+α𝐙 M(α,γ),
which is sharp when the partial quotients ai are almost all even and at least four. When the negative expansion has period one we give a complete description of the spectrum of values
L(α):={M(α,γ):γ∉𝐙+α𝐙},
above the first limit point.

Pour un nombre irrationnel α et un nombre réel γ, on considère la constante d’approximation non-homogène

M(α,γ):=lim inf |n|→∞ |n|||nα-γ||
en rapport avec le développement en fraction continue négatif semi-régulier de α
α=1 a 1 -1 a 2 -1 a 3 -⋯
et un α-développement adéquat de γ. Nous donnons une majoration de
ρ(α):=sup γ∉𝐙+α𝐙 M(α,γ),
dans le cas où α est mal approximé, qui s’avère fine lorsque les quotients partiels a i sont presque tous pairs et supérieurs ou égaux à 4. Lorsque le développement de α est de période 1, on décrit entièrement le spectre des valeurs prises par
𝐋(α):={M(α,γ):γ∉𝐙+α𝐙},
au-dessus du premier point d’accumulation.

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