Capitulation and transfer kernels

Gruenberg, K. W.; Weiss, A.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 219-226

If $K/k$ is a finite Galois extension of number fields with Galois group $G$, then the kernel of the capitulation map $C{l}_k\to C{l}_K$ of ideal class groups is isomorphic to the kernel $X\left(H\right)$ of the transfer map $H/H^{\text{'}}\to A,$ where $H=\text{Gal}(\tilde{K}/k),A=\text{Gal}(\tilde{K}/K)$ and $\tilde{K}$ is the Hilbert class field of $K$. H. Suzuki proved that when $G$ is abelian, $\left|G\right|$ divides $\left|X\right(H\left)\right|$. We call a finite abelian group $X$ a transfer kernel for $G$ if $X\cong X\left(H\right)$ for some group extension $A\hookrightarrow H\twoheadrightarrow G$. After characterizing transfer kernels in terms of integral representations of $G$, we show that $X$ is a transfer kernel for the abelian group $G$ if and only if $\left|G\right|X=0$ and $\left|G\right|$ divides $\left|X\right|$. Our arguments give a new proof of Suzuki’s result.

On sait que pour une extension galoisienne finie $K/k$ d'un corps de nombres, le noyau du morphisme d'extension $C{l}_k\to C{l}_K$ s'identifie au noyau $X\left(H\right)$ du transfert $H/H^{\text{'}}A,$ où $H\to A$, où $H=$ Gal$(\tilde{K}/k)$, et $\tilde{K}$ est le corps de classes de Hilbert de $K$. Lorsque le groupe $G=$ Gal$(\tilde{K}/k)$ est abélien, H. Suzuki a montré que $\left|G\right|$ divise $\left|X\right(H\left)\right|$. Nous appelons noyau de transfert pour $G$ tout groupe abélien fini $X$ qui s'écrit $X\left(H\right)$ pour un certain groupe $H$ tel que $A\hookrightarrow H\twoheadrightarrow G$. Après avoir caractérisé les noyaux de transfert en termes de représentations entières de $G$, nous montrons que $X$ est un noyau de transfert pour le groupe abélien $G$ si et seulement si on a $\left|G\right|X=0$ et $\left|G\right|$ divise $\left|X\right|$, ce qui fournit une nouvelle démonstration du résultat de Suzuki.

[G] K.W. Gruenberg, Relation Modules of Finite Groups. CBMS Monograph 25, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1976. | Zbl | MR

[GW] K.W. Gruenberg, A. Weiss, Galois invariants for units. Proc. London Math. Soc. 70 (1995), 264-284. | Zbl | MR

[J] J.-F. Jaulent, L'état actuel du problème de la capitulation. Sem. de Théorie des Nombres de Bordeaux, 1987-1988, exposé no. 17. | Zbl

[L] S. Lang, Algebraic Number Theory. Springer, New York, 1994. | Zbl | MR

[M] K. Miyake, Algebraic investigations of Hilbert's Theorem 94, the principal ideal theorem and the capitulation problem. Expo. Math. 7 (1989), 289-346. | Zbl | MR

[S] H. Suzuki, A generalization of Hilbert's Theorem 94. Nagoya Math. J. 121 (1991), 161-169. | Zbl | MR