Relative Galois module structure of integers of abelian fields

Byott, Nigel P.; Lettl, Günter

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 8 (1996) no. 1, pp. 125-141

Let $L/K$ be an extension of algebraic number fields, where $L$ is abelian over $\mathbb{Q}$. In this paper we give an explicit description of the associated order ${𝒜}_{L/K}$ of this extension when $K$ is a cyclotomic field, and prove that $o_L$, the ring of integers of $L$, is then isomorphic to ${𝒜}_{L/K}$. This generalizes previous results of Leopoldt, Chan & Lim and Bley. Furthermore we show that ${𝒜}_{L/K}$ is the maximal order if $L/K$ is a cyclic and totally wildly ramified extension which is linearly disjoint to ${\mathbb{Q}}^{\left(m^{\text{'}}\right)}/K$, where $m^{\text{'}}$ is the conductor of $K$.

Soit $L/K$ une extension d'un corps de nombres, où $L$ est abélienne sur $\mathbb{Q}$. On établit ici une description explicite de l'ordre associé ${𝒜}_{L/K}$ de cette extension dans le cas où $K$ est un corps cyclotomique, et on démontre que l'anneau des entiers $o_L$ de $L$ est isomorphe à ${𝒜}_{L/K}$. Cela généralise des résultats antérieurs de Leopoldt, Chan & Lim et Bley. De plus, on montre que ${𝒜}_{L/K}$ est l'ordre maximal si $L/K$ est une extension cyclique, totalement et sauvagement ramifiée, linéairement disjointe de ${\mathbb{Q}}^{\left(m^{\text{'}}\right)}/K$, où $m^{\text{'}}$ désigne le conducteur de $K$.

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