A property of the spectra of non-Pisot numbers

Zaïmi, Toufik

doi:10.1016/j.crma.2010.01.016

Number Theory

A property of the spectra of non-Pisot numbers
[Une propriété du spectre des réels autres que les nombres de Pisot]

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Zaïmi, Toufik ¹

¹ Département de mathématiques, Université Larbi Ben M'hidi, Oum El Bouaghi 04000, Algeria

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 3-4, pp. 121-124

Abstract (VO)
Résumé

Let θ be a real number satisfying $1 < θ < 2$ , m a positive rational integer and $B_{m} (θ)$ the set of polynomials with coefficients in ${0, \pm 1, \dots, \pm m}$ , evaluated at θ. We prove that $B_{m} (θ)$ is everywhere dense when $0 \in B_{m}^{'} (θ)$ , where $B_{m}^{'} (θ)$ is the derivative set of $B_{m} (θ)$ . We also show that if $B_{m}^{'} (θ) \cap [0$ , $\frac{1}{θ} \prod_{k ⩾ 0} (1 - \frac{1}{θ^{2^{k}}})] = \emptyset$ , then $B_{m} (θ)$ is discrete.

Soient θ un nombre réel satisfaisant $1 < θ < 2$ , m un entier rationnel positif et $B_{m} (θ)$ l'ensemble des réels $P (θ)$ pour P décrivant les polynômes à coefficients dans ${0, \pm 1, \dots, \pm m}$ . On montre que $B_{m} (θ)$ est partout dense lorsque 0 est un élément de l'ensemble dérivé $B_{m}^{'} (θ)$ de $B_{m} (θ)$ . On prouve également que si $B_{m}^{'} (θ) \cap [0$ , $\frac{1}{θ} \prod_{k ⩾ 0} (1 - \frac{1}{θ^{2^{k}}})] = \emptyset$ , alors $B_{m} (θ)$ est discret.

Reçu le : 2009-05-11
Accepté le : 2010-01-08
Publié le : 2010-02-01

DOI : 10.1016/j.crma.2010.01.016

Affiliations des auteurs :

Zaïmi, Toufik ¹

¹ Département de mathématiques, Université Larbi Ben M'hidi, Oum El Bouaghi 04000, Algeria

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Zaïmi, Toufik. A property of the spectra of non-Pisot numbers. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 3-4, pp. 121-124. doi: 10.1016/j.crma.2010.01.016

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Cité par Sources :