Algebraic homotopy classes of rational functions

Cazanave, Christophe

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 45 (2012) no. 4, pp. 511-534

Let $k$ be a field. We compute the set ${\left[{𝐏}^1,{𝐏}^1\right]}^{\mathrm{N}}$ of naive homotopy classes of pointed $k$-scheme endomorphisms of the projective line ${𝐏}^1$. Our result compares well with Morel’s computation in [11] of the group ${\left[{𝐏}^1,{𝐏}^1\right]}^{{𝐀}^1}$ of ${𝐀}^1$-homotopy classes of pointed endomorphisms of ${𝐏}^1$: the set ${\left[{𝐏}^1,{𝐏}^1\right]}^{\mathrm{N}}$ admits an a priori monoid structure such that the canonical map ${\left[{𝐏}^1,{𝐏}^1\right]}^{\mathrm{N}}\to {\left[{𝐏}^1,{𝐏}^1\right]}^{{𝐀}^1}$ is a group completion.

Soit $k$ un corps. Nous déterminons l’ensemble ${\left[{𝐏}^1,{𝐏}^1\right]}^{\mathrm{N}}$ des classes d’homotopie naïve d’endomorphismes pointés de $k$-schémas de la droite projective ${𝐏}^1$. Notre résultat se compare bien avec le calcul de Morel [11] du groupe ${\left[{𝐏}^1,{𝐏}^1\right]}^{{𝐀}^1}$ des classes d’${𝐀}^1$-homotopie d’endomorphismes pointés de ${𝐏}^1$ : l’ensemble ${\left[{𝐏}^1,{𝐏}^1\right]}^{\mathrm{N}}$ admet a priori une structure de monoïde pour laquelle l’application canonique ${\left[{𝐏}^1,{𝐏}^1\right]}^{\mathrm{N}}\to {\left[{𝐏}^1,{𝐏}^1\right]}^{{𝐀}^1}$ est une complétion en groupe.

Classification : 14F42, 55Q40, 12Y05
Keywords: naive homotopy classes, rational functions, projective line, group completion
Mots-clés : classes d'homotopie naïve, fractions rationnelles, droite projective, complétion en groupe

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