Unique continuation for Schrödinger operators in dimension three or less

Sawyer, Eric T.

Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 3, pp. 189-200

We show that the differential inequality $\left|\Delta u\right|\le v\left|u\right|$ has the unique continuation property relative to the Sobolev space $H_{loc}^{2,1}\left(\Omega \right)$, $\Omega \subset R^n$, $n\le 3$, if $v$ satisfies the condition

$$(K_n^{\mathrm{loc}})\underset{r\to 0}{lim}\underset{x\in K}{sup}{\int }_{|x-y|<r}|x-y{|}^{2-n}v\left(y\right)dy=0$$

for all compact $K\subset \Omega$, where if $n=2$, we replace $|x-y{|}^{2-n}$ by $-log|x-y|$. This resolves a conjecture of B. Simon on unique continuation for Schrödinger operators, $H=-\Delta +v$, in the case $n\le 3$. The proof uses Carleman’s approach together with the following pointwise inequality valid for all $N=0,1,2,...$ and any $u\in H_c^{2,1}({\mathbf{R}}^3-\left\{0\right\}),$

$$\frac{\left|u\right(x\left)\right|}{|x{|}^N}\le C{\int }_{{\mathbf{R}}^3}|x-y{|}^{-1}\frac{\left|\Delta u\right(y\left)\right|}{|y{|}^N}dy\text{for}\text{a.e.}x\text{in}{\mathbf{R}}^3.$$

Nous démontrons que l’inégalité différentielle $\left|\Delta u\right|\le v\left|u\right|$ a la propriété de prolongement unique se rapportant à l’espace Sobolev $H_{loc}^{2,1}\left(\Omega \right)$, $\Omega \subset R^n$, $n\le 3$, si $v$ satisfait la condition

$$(K_n^{\mathrm{loc}})\underset{r\to 0}{lim}\underset{x\in K}{sup}{\int }_{|x-y|<r}|x-y{|}^{2-n}v\left(y\right)dy=0$$

pour tout compact $K\subset \Omega$, où, si $n=2$, nous remplaçons $|x-y{|}^{2-n}$ par $-log|x-y|$. Ceci résout une conjecture par B. Simon ayant trait au prolongement unique pour les opérateurs de Schrödinger, $H=-\Delta +v$, dans le cas où $n\le 3$. La preuve utilise une approche du type Carleman de concours avec l’inégalité suivante, valable pour tout $N=0,1,2,...$ et n’importe quel $u\in H_c^{2,1}({\mathbf{R}}^3-\left\{0\right\}),$

$$\frac{\left|u\right(x\left)\right|}{|x{|}^N}\le C{\int }_{{\mathbf{R}}^3}|x-y{|}^{-1}\frac{\left|\Delta u\right(y\left)\right|}{|y{|}^N}dy\text{for}\text{a.e.}x\text{in}{\mathbf{R}}^3.$$

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