Etale coverings of a Mumford curve

Put, Marius Van Der

Annales de l'Institut Fourier, Volume 33 (1983) no. 1, pp. 29-52

Let the field $K$ be complete w.r.t. a non-archimedean valuation. Let $X/K$ be a Mumford curve, i.e. the irreducible components of the stable reduction of $X$ have genus 0. The abelian etale coverings of $X$ are constructed using the analytic uniformization $\Omega \to X$ and the theta-functions on $X$. For a local field $K$ one rediscovers $G$. Frey’s description of the maximal abelian unramified extension of the field of rational functions of $X$.

Soit $K$ un corps complet pour une valuation non-archimédienne. Soit $X/K$ une courbe de Mumford, i.e. les composantes irréductibles de la réduction stable de $X$ sont du genre 0. On construit les revêtements étales abéliens de $X$ à l’aide de l’uniformisation analytique $\Omega \to X$ et des fonctions thêta sur $X$. Pour un corps local $K$ on retrouve la description de G. Frey de l’extension abélienne, non-ramifiée, maximale du corps des fonctions rationnelles sur $X$.

[1] J. Fresnel, M. Van Der Put, Géométrie analytique rigide et applications, Progress in Math., Birkhäuser Verlag, 1981. | Zbl | MR

[2] G. Frey, Maximal abelsche Erweiterung von Funktionenkörper über lokalen Köpern, Archiv der Mathematik, Vol. 28 (1977), 157-168. | Zbl | MR

[3] L. Gerritzen, M. Van Der Put, Schottky groups and Mumford curves, Lect. Notes in Math., 817 (1980). | Zbl | MR

[4] M. Van Der Put, Stable reductions of algebraic curves, University of Groningen preprint, ZW-8019 (1982).

[5] M. Van Der Put, Les fonctions theta d'une courbe de Mumford, Sém. d'Analyse Ultramétrique, déc. 1981, I.H.P.

[6] G. Van Steen, Hyperelliptic Curves defined by Schottky groups over a non-archimedean valued field, Thesis Antwerpen U.I.A., 1981.