Sur les systèmes d'équations différence-différentielles

Berenstein, C. A.; Taylor, B. A.; Yger, A.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 1, pp. 109-130

Étant donné un système $\left(S\right)$ d’équations différence-différentielles à coefficients constants en deux variables, où les retards sont commensurables, de la forme : ${\mu }_1*f=0$, ${\mu }_2*f=0$, si le système n’est pas redondant (i.e. $V\{{\widehat{\mu }}_1={\widehat{\mu }}_2=0\}$ est discrète dans ${\mathbf{C}}^2$), toute solution $C^{\infty }$ du système admet une représentation $f\left(x\right)=\Sigma a_{\gamma }\left(x\right)e^{i\langle \gamma ,x\rangle }$, où $\gamma \in V$, $a_{\gamma }\in \mathbf{C}[x_1,x_2]$ et $a_{\gamma }\left(x\right)e^{i\langle \gamma ,x\rangle }$ est une solution du système $\left(S\right)$. La série est de plus convergente dans $ℰ\left({\mathbf{R}}^2\right)$ après un groupement de termes indépendant de la solution $f$.

Given a system $\left(S\right)$ of two difference-differential equations with constant coefficients in ${\mathbf{R}}^2$, whose delays are commensurable, say $\left(S\right):{\mu }_1*f={\mu }_2*f=0$, if the system is not redundant (i.e. $V=\{{\widehat{\mu }}_1={\widehat{\mu }}_2=0\}$ is discrete in ${\mathbf{C}}^2$), every $C^{\infty }$ solution of the system admits a representation $f\left(x\right)=\Sigma a_{\gamma }\left(x\right)e^{i\langle \gamma ,x\rangle }$, where $\gamma \in V$, $a_{\gamma }\in \mathbf{C}[x_1,x_2]$ and $a_{\gamma }\left(x\right)e^{i\langle \gamma ,x\rangle }$ is also a solution of the system $\left(S\right)$. Moreover, the serie is convergent in $ℰ\left({\mathbf{R}}^2\right)$ after a grouping of terms independent of the solution $f$.

[1] C.A. Berenstein et B.A. Taylor, Interpolation problems in Cn with applications to Harmonic Analysis, Journal d'Analyse Mathématique, 38 (1980), 188-254. | Zbl | MR

[2] J. Delsarte, Théorie des fonctions moyenne-périodiques de deux variables, Ann. of Math., 12 (1960), 121-178. | Zbl | MR

[3] O.V. Grudzinski, Einigele elementare ungleichungen für exponential polynome, Math. Ann., 221 (1976), 9-34. | Zbl

[4] D.I. Gurevich, Counter-examples to a problem of L. Schwartz, Func. Anal. Appl., 9 (1975), 116-120. | Zbl

[5] D.I. Gurevich, Closed ideals with exponential-polynomial generators in rings of entire functions of two variables, Izv. Akad. Nauk. Armjan. SSR, ser Math., (1974), 459-472, 510 ; Math. Reviews, 52, # 785 (en russe).

[6] D.I. Gurevich, Closed ideals with the zero dimensional root set in certain rings of holomorphic functions, Journal of Soviet Math., 9 (1978), 172-182. | Zbl

[7] R.C. Gunning, H. Rossi, Analytic functions of several complex variables, Prentice Hall, Englewood cliffs, N.J., 1965. | Zbl | MR

[8] D.W. Masser, On polynomial and exponential polynomials in several complex variables, Inventiones Math., 63 (1981), 81-95. | Zbl | MR

[9] W. Rudin, A geometric criterion for algebraic varieties, Journal of Mathematics and Mechanics, 17 (1978), 671-683. | Zbl | MR

[10] Van Der Waerden, Modern Algebra, vol. II, Ungar Publishing Co., 1950.

[11] M. Waldschmidt, Transcendance et exponentielles en plusieurs variables, Inventiones Math., 63 (1981), 97-127. | Zbl | MR

[12] A. Yger, Thèse de doctorat d'Etat, Université de Paris-Sud, Orsay, 1982.