Extensions centrales d'algèbres de Lie

Kassel, Christian; Loday, Jean-Louis

Annales de l'Institut Fourier, Volume 32 (1982) no. 4, pp. 119-142

Soient $k$ un anneau commutatif et $A$ une $k$-algèbre associative quelconque. Nous calculons le groupe d’homologie $H_2({𝔰l}_n\left(A\right),k)$ de la $k$-algèbre de Lie ${𝔰l}_n\left(A\right)$ des matrices de “trace nulle” sur $A$. Le groupe ainsi déterminé est un groupe d’homologie d’un complexe inspiré d’A. Connes; il est isomorphe à ${\Omega }_{A/k}^1/dA$ lorsque $A$ est commutative. Nous obtenons également des résultats pour un groupe d’homologie relative associé à une surjection de $k$-algèbres. Les démonstrations utilisent la classification des extensions centrales et des modules croisés d’algèbres de Lie.

Given a commutative ring $k$ and an associative $k$-algebra $A$, we compute the homology group $H_2({𝔰l}_n\left(A\right),k)$ of the $k$-Lie algebra ${𝔰l}_n\left(A\right)$of “trace zero” matrices. This group appears to be a homology group of a complex derivated from A. Connes’ work; it is isomorphic to ${\Omega }_{A/k}^1/dA$ when $A$ is commutative. Results are also given for relative homology associated to a surjection of $k$-algèbras. The proofs involve a classification of central extensions and crossed modules of Lie algebras.

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