Foliations of surfaces I: an ideal boundary

Mather, John N.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 1, pp. 235-261

Let $F$ be a foliation of the punctured plane $P$. Any non-compact leaf of $F$ has two ends, which we call leaf-ends. The set $ℰ$ of leaf-ends which converge to the origin has a natural cyclic order. In the case $ℰ$ is infinite, we show that the cyclicly ordered set $\beta$, obtained by identifying neighbors in $ℰ$ and filling in the holes according to the Dedeking process, is equivalent to a circle. We show that the set $P\coprod \beta$ has a natural topology, and it is homeomorphic to $S^1\times [0,\infty )$ with respect to this topology.

Soit $F$ un feuilletage du plan moins l’origine $P$. L’ensemble $ℰ$ des bouts des feuilles qui tendent vers l’origine a un ordre cyclique canonique. On suppose que $ℰ$ est infini. Soit $\beta$ l’ensemble ordonné cycliquement, construit en identifiant des voisins dans $ℰ$ et remplissant les trous par la méthode de Dedekind. Alors $\beta$ est équivalent à un cercle. On montre que l’ensemble $P\coprod \beta$ a une topologie canonique, et qu’il est homéomorphe à $S^1\times [0,\infty )$.

[1] I. Bendixson, Sur les courbes définies par des équations différentielles, Acta Math., 24 (1901), 1-88. | JFM

[2] A. Haefliger and G. Reeb, Variétés (non séparées) à une dimension et structures feuilletées du plan, Enseignement Math., 3 (1957), 107-125. | Zbl | MR

[3] B. Von Kerékjártó, Vorlesungen über Topologie, Berlin Springer-Verlag (1923).

[4] M.H.A. Newman, Elements of the Topology of Plane Sets of Points, Cambridge Univ. Press (1939). | Zbl

[5] I. Richards, On the classification of noncompact surfaces, Trans. Amer. Math. Soc., 106 (1963), 259-269. | Zbl | MR