Quelques théorèmes de décomposition des ultradistributions

Lambert, André

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 3, pp. 57-100

Deux décompositions d’une fonctionnelle $T$ d’un espace d’ultra-distributions sont étudiées. La première fait intervenir une série convergente de dérivées de mesures dont on montre que les supports peuvent être pris inclus dans le support $T$. La seconde consiste à exprimer $T$ comme somme de fonctionnelles du même espace portées par les éléments d’une partition du support de $T$. Dans les deux cas on a recours à des concepts de régularité et de séparation régulière d’ensembles fermés de ${\mathbf{R}}^{\nu }$ qui relient la forme de ces ensembles aux suites numériques non-quasi-analytiques qui sont à la base de la construction des espaces d’ultradistributions envisagés.

Two decompositions of a functional $T$ belonging to a space of ultra-distributions are studied. First one gives rise to a convergent expansion into a series of derivatives of measures. It is shown that one can choose the supports of these measures to be included in the support of $T$. Second one corresponds to the fact that one can express $T$ as sum of functionals of the same space supported by the elements of a partition of the support of $T$. In both cases one uses some concepts of regularity and regular splitting of closed subsets of ${\mathbf{R}}^{\nu }$ which connect the shape of these sets to some numerical non-quasi-analytic sequences which are the basic tools to build the spaces of ultradistributions which are considered.

[1] Ch. Roumieu, Ann. Scient. E.N.S., 3e série, 77 (1960), 41. | Numdam

[2] Ch. Roumieu, J. Analyse Math., 10 (1962-1963), 153-192. | Zbl

[3] Lojasiewicz, Studia Mathematica, XVIII (1959), 87-136. | Zbl

[4] B. Malgrange, Séminaire Schwartz (59-60) n° 21 et : Ideals of differentiable Functions, Oxford University Press, (1966).

[5] H. Whitney, Annals of Math., 35 (1934), 482 & Bull. Amer Math. Soc., 50-2 (1944).

[6] H. Whitney, Trans. Amer. Math. Soc., 36 (1934), 63-89. | Zbl

[7] L. Hormander, Arkiv för Math., 3 (1958), 555-568.

[8] G.A. Dzanasija, Soviet Math., 3 (1962), 969-972. | Zbl

[9] H. Epstein, V. Glaser, Preprint TH. 1400 CERN (1971) et Comm. Math. Phys., 27 (1972), 181-194.

[10] A. Jaffe, Phys. Rev., 158, 5 (1967), 1454.

[11] Chin-Cheng Chou, Lecture Notes in Math., 325 Springer (1973).

[12] H. Komatsu (ed.), Lecture Notes in Math., 287 Springer (1973) p. 164.

[13] F. Pham (ed.), Lecture Notes in Math., vol 449 Springer (1975). | Zbl

[14] Gelfand, Shilov, Théorie des Distributions, tome 2 (Dunod).

[15] S. Mandelbrojt, Séries adhérentes — Régularisation des suites — Applications, Gauthier-Villars (1952). | Zbl | MR

[16] L. Schwartz, Théorie des Distributions, Hermann (1966).

[17] V.S. Vladimirov, Les fonctions de plusieurs variables complexes, Dunod (1967). | Zbl

[18] A. Lambert, Preprint C.P.T. Marseille.