Propagation of singularities for operators with multiple involutive characteristics

Sjöstrand, Johannes

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 1, pp. 141-155

Let $P$ be a classical pseudodifferential operator of order $m$ on a paracompact $C^{\infty }$ manifold $X$. Let $p_m$ be the principal symbol and assume that $\Sigma =p_m^{-1}\left(0\right)$ is an involutive $C^{\infty }$ sub-manifold of $T^{*}X\setminus 0$, satisfying a certain transversality condition. We assume that $p_m$ vanishes exactly to order $M$ on $\Sigma$ and that the derivatives of order $M$ satisfy a certain condition, inspired from the Calderòn uniqueness theorem (usually empty when $M=2$). Suppose that a Levi condition is valid for the lower order symbols. If $u\in {𝒟}^{\prime }\left(X\right)$, $Pu\in C^{\infty }\left(X\right)$, then $WF\left(u\right)$ is a union of (bicharacteristic leaves), defined in the paper).

Soit $P$ un opérateur pseudodifférentiel classique d’ordre $m$ sur une variété $C^{\infty }$, $X$. Soit $p_m$ le symbole principal et supposons que $\Sigma =p_m^{-1}\left(0\right)$ soit une sous-variété $C^{\infty }$ de $T^{*}X\setminus 0$ qui est involutive et satisfait à une certaine condition de transversalité. On suppose que $p_m$ s’annule exactement d’ordre $M$ sur $\Sigma$ et que les dérivées d’ordre $M$ satisfont une certaine condition inspirée du théorème d’unicité de Calderòn (en général vide pour $M=2$). Imposons de plus une condition de Levi pour les symboles d’ordre inférieur. Si $u\in {𝒟}^{\prime }\left(X\right)$, $Pu\in C^{\infty }\left(X\right)$ on montre alors que $WF\left(u\right)$ est une réunion de “feuilles bicaractéristiques” (définies dans l’article).

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