Markoff-Ketten bei sich füllenden Löchern im Zustandsraum

Rost, Hermann

Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 1, pp. 253-270

Soit $P$ un noyau substochastique d’un espace mesurable $(E,\beta )$ dans lui-même ; pour chaque paire $(\mu ,\nu )$ de mesures finies sur $\beta$, on considère les suites suivantes :

$${\mu }_0=(\mu -\nu {)}^{+},{\nu }_0=(\mu -\nu {)}^{-};$$

$${\mu }_{n+1}=({\mu }_n^p-{\nu }_n{)}^{+},{\nu }_{n+1}=({\mu }_n^p-{\nu }_n{)}^{-},n=0,1,2,...$$

Cet article traite des conditions pour que l’on ait $\downarrow {lim}_n{\nu }_n=0$, ou ${lim}_n\parallel {\mu }_n\parallel =0$.

Comme application, on donne une caractérisation des mesures $\nu$, qui dans une $P$-chaîne de Markov $(X_n{)}_{n\in \mathbf{N}}$ dont $E$ est l’espace des états, de loi initiale $\mu$, peuvent apparaître comme distribution de $X_{\tau }$ où $\tau$ est un temps d’arrêt adéquat.

Given a substochastic kernel $P$ from a measurable space $(E,\beta )$ into itself one considers for a pair $(\mu ,\nu )$ of finite measures on $\beta$ the following sequences:

$${\mu }_0=(\mu -\nu {)}^{+},{\nu }_0=(\mu -\nu {)}^{-};$$

$${\mu }_{n+1}=({\mu }_n^p-{\nu }_n{)}^{+},{\nu }_{n+1}=({\mu }_n^p-{\nu }_n{)}^{-},n=0,1,2,...$$

This paper deals with conditions for $\downarrow {lim}_n{\nu }_n=0$, or ${lim}_n\parallel {\mu }_n\parallel =0$ to hold. As an application a characterization of those measures $\nu$ is given which may occur in a $P$-Markov chain $(X_n{)}_{n\in \mathbf{N}}$ with state space $E$, having $\mu$ as its initial law, as distribution of $X_{\tau }$ where $\tau$ is a suitable stopping time.

[1] M.A. Akcoglu, R.W. Sharpe, Ergodic theory and boundaries, Trans. Amer. Math. Soc. 132 (1968), 447-460. | Zbl | MR

[2] R.V. Chacon, D.S. Ornstein, A general ergodic theorem, III. Journal Math. 4 (1960), 153-160. | Zbl | MR

[3] E.B. Dynkin, A.A. Juschkewitsch, Sätze und Aufgaben über Markoffsche Prozesse, Berlin-Heidelberg-New York : Springer 1969. | Zbl

[4] P.A. Meyer, Théorie ergodique et potentiels, Ann. Inst. Fourier 15 (1965), 89-102. | Zbl | MR | Numdam

[5] P.A. Meyer, Probabilités et potentiel, Paris : Hermann 1966. | Zbl | MR

[6] H. Rost, Darstellung einer Ordnung von Massen durch Stoppzeiten, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb. 15 (1970), 19-28. | Zbl | MR