Les théorèmes de renouvellement

Herz, Carl S.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 15 (1965) no. 1, pp. 169-187

Soit $D$ un laplacien généralisé, c’est-à-dire le générateur infinitésimal d’un semi-groupe sous-markovien d’opérateurs de convolution. On veut étudier les solutions élémentaires $E$ de $D^{*}E=-\delta$. Nous ne considérons que les $D$ définis sur le groupe $R$, la droite réelle.

S’il existe une solution élémentaire positive, alors il en existe une minimale $E$. Celle-ci s’exprime comme $E={lim}_{\lambda \to 0}{E}_{\lambda }$ où $E_{\lambda }=(\lambda \delta -D{)}^{-1}$. Il s’agit ici du cas transient. Utilisant les méthodes de la théorie du potentiel on démontre que $E$ possède des limites, au sens des distributions, aux points $+\infty$ et $-\infty$. La dérivée $E^{\prime }$ s’annule à l’infini.

Il se peut que $D$ n’ait aucune solution élémentaire en tant que distribution tempérée. Dans le cas contraire, le problème est bien adapté au groupe $R$ et, outre le cas transient, il y a le cas récurrent. Dans ce dernier cas, il existe une famille $\left\{C_{\lambda }\right\}$ de constantes positives telles que $E_{\lambda }-C_{\lambda }dx$ converge vers une solution élémentaire $E$. Pour cette solution $E$ la dérivée $E^{\prime }$ possède des limites à droite et à gauche, à savoir

$$\underset{x\to \pm \infty }{lim}{E}^{\prime *}f\left(x\right)=\pm {\sigma }^{-2}\int f\left(y\right)dy$$

où ${\sigma }^2=\int x^{2}D\le \infty$. La dérivée seconde $E^{\prime \prime }$ s’annule à l’infini. Nos méthodes, dans le cas récurrent, sont essentiellement celles de la théorie du potentiel mais un peu d’analyse harmonique y intervient.

[1] W. Feller et S. Orey, A renewal theorem, Journ. Math. and Mech., 10 (1961), 619-624. | Zbl | MR

[2] W. Hoeffding, On sequences of sums of independent random vectors, 4th Berkeley Symposium on Math. Stat. and Prob., vol. II, 213-226. | Zbl | MR

[3] Frank Spitzer, Hitting probabilities, Journ. Math. and Mech., 11 (1962), 593-614. | Zbl | MR