Variations of complex structures on an open Riemann surface

Narasimhan, M. S.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 11 (1961), pp. 493-514

Soit $U_1$ un ouvert dans ${\mathbf{C}}^m$. Soit ${\pi }_1:\mathbf{S}\to U_1$ une famille holomorphe de structures complexes sur une surface de Riemann non-compacte $M$, avec ${\mathbf{S}}_{t_0}={\pi }_1^{-1}(t_0)=M$. ($\mathbf{S}=\mathbf{S}(M\times U_1)$ est une structure complexe sur le produit différentiable $M\times U_1$). Soit $M_1$ un domaine relativement compact dans $M$. On démontre : pour tout voisinage de Stein $U$ de $t_0$, assez petit, la famille ${\pi }_1:\mathbf{S}(M_1\times U)\to U$ est isomorphe à la famille $\pi :\Omega \to \pi \left(\Omega \right)$, où $\Omega$ est un ouvert de Stein de la variété produit $M\times {\mathbf{C}}^m$, $\pi$ étant la projection $M\times {\mathbf{C}}^m\to {\mathbf{C}}^m$. On donne aussi un résultat analogue pour le cas des variations différentiables.

[1] S. S. Chern. An elementary proof of the existence of isothermal parameters on a surface, Proc. Amer. Math. Soc., 6 (1955), pp. 771-782. | Zbl | MR

[2] K. Kodaira and D. C. Spencer: On deformations of complex analytic structures I, Annals of Math., 67 (1958), pp. 328-401. | Zbl | MR

[3] K. Kodaira and D. C. Spencer. On deformations of complex analytic structures, III, Annals of Math., 71 (1960), pp. 43-76. | Zbl | MR

[4] J. L. Lions. Lectures on elliptic partial differential equations, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1957. | Zbl

[5] G. De Rham. Variétés différentiables, Paris, 1955. | Zbl