Zeta functions of Jordan algebras representations

Achab, Dehbia

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 5, pp. 1283-1303

This work is about a generalization of Kœcher’s zeta function. Let $V$ be an Euclidean simple Jordan algebra of dimension $n$ and rank $m$, $E$ an Euclidean space of dimension $N$, $\phi$ a regular self-adjoint representation of $V$ in $E$, $Q$ the quadratic form associated to $\phi$, $\Omega$ the symmetric cone associated to $V$ and $G\left(\Omega \right)$ its automorphism group

$$G\left(\Omega \right)=\{g\in GL(V\left)\right|g\left(\Omega \right)=\Omega \}.$$

($H_1$) Assume that $V$ and $E$ have $\mathbf{Q}$-structures $V_{\mathbf{Q}}$ and $E_{\mathbf{Q}}$ respectively and $\phi$ is defined over $\mathbf{Q}$. Let $L$ be a lattice in $E_{\mathbf{Q}}$. The zeta series associated to $\phi$ and $L$ is defined by

$${\zeta }_L\left(s\right)=\sum _{l\in {\Gamma }_{\circ }\setminus L^{\prime }}\left[\det \right(Q\left(l\right)){]}^{-s},\forall s\in \mathbf{C}$$

where $L^{\prime }=\{l\in L|\det \left(Q\right(l\left)\right)\ne 0\}$, ${\Gamma }_{\circ }$ is some arithmetic subgroup of $GL\left(E\right)$. ($H_2$) Assume that $V_{\mathbf{Q}}$ is split, which means that its rank equals its primitive rank. The fundamental results are: 1. Under the assumptions ($H_1$) and ($H_2$) and using reduction theory (Siegel sets), we show that the zeta series ${\zeta }_L\left(s\right)$ converges absolutely for $\mathrm{Re}\left(s\right)>\frac{N}{2m}$. 2. ${\zeta }_L$ admits an analytic continuation as a meromorphic function on the whole plane $\mathbf{C}$ and satisfies to a functional equation similar to that of Riemann’s zeta function.

Ce travail porte sur une généralisation de la fonction zêta de Kœcher . Soient $V$ une algèbre de Jordan simple euclidienne de dimension $n$ et de rang $m,E$ un espace euclidien de dimension $N$, $\phi$ une représentation auto-adjointe régulière de $V$ dans $E$, $Q$ la forme quadratique vectorielle associée à $\phi$, $\Omega$ le cône symétrique associé à $V$, et $G\left(\Omega \right)$ son groupe d’automorphismes

$$G\left(\Omega \right)=\{g\in GL(V\left)\right|g\left(\Omega \right)=\Omega \}.$$

($H_1$) On suppose que $V$ et $E$ admettent des $\mathbf{Q}$-structures $V_{\mathbf{Q}}$ et $E_{\mathbf{Q}}$ respectivement et $\phi$ est définie sur $\mathbf{Q}$. Soit $L$ un réseau dans $E_{\mathbf{Q}}$. La série zêta associée à $\phi$ et $L$ est définie par

$${\zeta }_L\left(s\right)=\sum _{l\in {\Gamma }_{\circ }\setminus L^{\prime }}\left[\det \right(Q\left(l\right)){]}^{-s},\forall s\in \mathbf{C}$$

où $L^{\prime }=\{l\in L|\det \left(Q\right(l\left)\right)\ne 0\}$, ${\Gamma }_{\circ }$ est un certain sous-groupe arithmétique de $GL\left(E\right)$. ($H_2$) On suppose que $V_{\mathbf{Q}}$ est déployée, i.e. son rang est égal à son rang primitif. Les résultats fondamentaux sont : 1. Sous les hypothèses ($H_1$) et ($H_2$) et à l’aide de la théorie de la réduction de Borel (ensembles de Siegel), on montre que la série zêta ${\zeta }_L\left(s\right)$ converge absolument pour $\mathrm{Re}\left(s\right)>\frac{N}{2m}$. 2. ${\zeta }_L$ admet un prolongement analytique en tant que fonction méromorphe sur tout le plan $\mathbf{C}$ et vérifie une équation fonctionnelle similaire à celle de la fonction zêta de Riemann.

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