Geometric Fourier analysis

Cordoba, Antonio

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 3, pp. 215-226

In this paper we continue the study of the Fourier transform on ${\mathbf{R}}^n$, $n\ge 2$, analyzing the “almost-orthogonality” of the different directions of the space with respect to the Fourier transform. We prove two theorems: the first is related to an angular Littlewood-Paley square function, and we obtain estimates in terms of powers of $log\left(N\right)$, where $N$ is the number of equal angles considered in ${\mathbf{R}}^2$. The second is an extension of the Hardy-Littlewood maximal function when one consider cylinders of ${\mathbf{R}}^n$, $n\ge 2$, of fixed eccentricity and direction on a given curve. We obtain sharp estimates for the $L^2$-norm of such operators.

Dans ce travail nous continuons à étudier la transformée de Fourier sur ${\mathbf{R}}^n$, $n\ge 2$, en analysant la “presque-orthogonalité” des différentes directions de l’espace par rapport à la transformée de Fourier. Nous prouvons deux théorèmes. Dans le premier on généralise la théorie de Littlewood-Paley au cas où les angles sont égaux dans ${\mathbf{R}}^2$ et nous obtenons des estimations de la norme $L^4$ de la forme $(logN{)}^a$, où $N$ est le nombre des directions. Le deuxième est une extension du théorème maximal de Hardy-Littlewood lorsqu’on considère des cylindres de ${\mathbf{R}}^n$, $n\ge 2$, avec excentricité fixée et direction dans une courbe donnée.

[1] C. Fefferman, The multiplier problem for the ball, Ann. of Math., 94 (1971). | Zbl | MR

[2] E.M. Stein and S. Wainger, Problems in harmonic analysis related to curvature, Bull. Amer. Math. Soc., 84 (1978). | Zbl | MR

[3] P. Tomas, A restriction theorem for the Fourier transform, Bull. Amer. Math. Soc., 81 (1975). | Zbl | MR

[4] A. Cordoba, The multiplier problem for the polygon, Ann. of Math., 105 (1977). | Zbl | MR

[5] A. Cordoba and C. Fefferman, A weighted norm inequality for singular integrals, Studia Math., LVII (1976). | Zbl | MR

[6] S. Wainger, Averages over low dimensional sets, Proc. Symp. in Pure Math., XXV. | Zbl