@incollection{SB_1985-1986__28__21_0,
author = {Bertrand, Daniel},
title = {Lemmes de z\'eros et nombres transcendants},
booktitle = {S\'eminaire Bourbaki : volume 1985/86, expos\'es 651-668},
series = {Ast\'erisque},
note = {talk:652},
pages = {21--44},
year = {1987},
publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
number = {145-146},
mrnumber = {880024},
zbl = {0613.14001},
language = {fr},
url = {https://www.numdam.org/item/SB_1985-1986__28__21_0/}
}
TY - CHAP AU - Bertrand, Daniel TI - Lemmes de zéros et nombres transcendants BT - Séminaire Bourbaki : volume 1985/86, exposés 651-668 AU - Collectif T3 - Astérisque N1 - talk:652 PY - 1987 SP - 21 EP - 44 IS - 145-146 PB - Société mathématique de France UR - https://www.numdam.org/item/SB_1985-1986__28__21_0/ LA - fr ID - SB_1985-1986__28__21_0 ER -
%0 Book Section %A Bertrand, Daniel %T Lemmes de zéros et nombres transcendants %B Séminaire Bourbaki : volume 1985/86, exposés 651-668 %A Collectif %S Astérisque %Z talk:652 %D 1987 %P 21-44 %N 145-146 %I Société mathématique de France %U https://www.numdam.org/item/SB_1985-1986__28__21_0/ %G fr %F SB_1985-1986__28__21_0
Bertrand, Daniel. Lemmes de zéros et nombres transcendants, dans Séminaire Bourbaki : volume 1985/86, exposés 651-668, Astérisque, no. 145-146 (1987), Exposé no. 652, 24 p.. https://www.numdam.org/item/SB_1985-1986__28__21_0/
[1] - Sur certaines algèbres de Lie associées aux schémas abéliens, C.R.A.S., Paris, 299, 1984, 137-140. | Zbl | MR
[2] - On the periods of the Weierstrass -function, Symposia Math., 4, 1968, 155-174. | Zbl | MR
[3] - The theory of linear forms in logarithms, in "Transcendence theory : Advances and Applications", Acad. Press, 1977, chap. I. | Zbl | MR
[4] - On the Thue - Siegel - Dyson theorem, Acta math. , 148, 1982, 255-296. | Zbl | MR
[5] - Schémas en groupes et lemmes de zéros, in "Problèmes diophantiens 84-85", Publ. Univ. Paris VI, 1985, exp. n° 3.
[6] - Zero estimates for solutions of differential equations, Birkhäuser Prog. Math., 31, 1983, 67-94. | Zbl | MR
[7] - - Multiplicity estimates for analytic functions, II, Duke Math. J., 47, 1980, 273-295. | Zbl | MR
[8] - - Biextensions associated to divisors on abelian varieties and theta functions, Ann. Sc. N. S. Pisa, 10, 1983, 437-491. | Zbl | MR | Numdam
[9] - Singular points on complex hypersurfaces and multidimensional Schwarz lemma, Birkhäuser Prog. Math., 12, 1981, 29-69. | Zbl | MR
[10] - - Sur une minoration du degré d'hypersurfaces s'annulant en certains points, Math. Ann., 263, 1983, 75-86. | Zbl | MR
[11] - - Dyson's lemma for polynomials in several variables (and the theorem of Roth), Invent. Math., 78, 1984, 445-490. | Zbl | MR
[12] - - Einbettungen kommutativer algebraischer Gruppen und einige ihre Eigenschaften, Crelle, 354, 1984, 175-205. | Zbl | MR
[13] - Intersection Theory, Springer Erg. Math., 1984. | Zbl | MR
[14] - Some effective problems in polynomial ideal theory, Springer L.N. in Computer Sciences, 174, 1984, 159-171. | Zbl | MR
[15] - Algebraic Geometry, Springer G.T.M., 1977. | Zbl | MR
[16] - Représentations l-adiques abéliennes, Birkhäuser Prog. Math., 22, 1982, 107-126. | Zbl | MR
[17] - La méthode d'Horace pour l'interpolation à plusieurs variables, Manuscripta math., 50, 1985, 337-388. | Zbl | MR
[18] - Non standard diophantine geometry, Queen's papers p. appl. maths, 54, 1980, 129-179. | Zbl
[19] - - Commutative algebraic groups and intersections of quadrics, Math. Ann. , 267, 1984, 555-571. | Zbl | MR
[20] - Nombres transcendants, Séminaire Bourbaki 1965-66, exp. n° 305, Benjamin, 1966. | Zbl | Numdam
[21] - Diophantine approximation on toruses, Amer. J. Math., 86, 1964, 521-533. | Zbl | MR
[22] - Translations sur les groupes algébriques commutatifs, C.R.A.S., Paris, 300, 1985, 255-258. | Zbl | MR
[23] - Transcendance de périodes d'intégrales elliptiques, II, Crelle, 333, 1982, 144-161. | Zbl | MR
[24] - Linear forms in algebraic points of abelian functions, III, Proc. London M.S. 33, 1976, 549-564. | Zbl | MR
[25] - A note on Baker's theorem, in "Recent Progress in Analytic Number Theory", Acad. Press, 1981, vol. 2, chap. 31. | Zbl | MR
[26] - On polynomials and exponential polynomials in several complex variables, Invent. math., 63, 1981, 81-95. | Zbl | MR
[27] - Interpolation on group varieties, Birkhäuser Prog. Math., 31, 1983, 151-171. | Zbl | MR
[28] - Small values of the quadratic part of the Néron - Tate height on an abelian variety, Compositio Math., 53, 1984, 153-170. | Zbl | MR | Numdam
[29] - Zero estimates on group varieties, Proc. I.C.M., Warszawa, 1983, vol. 1, 493-502. | Zbl | MR
[30] - - Zero estimates on group varieties, I, Invent. math., 64, 1981, 489-516. | Zbl | MR
[31] - - Fields of large transcendence degree generated by values of elliptic functions, Invent. math., 72, 1983, 407-464. | Zbl | MR
[32] - - Zero estimates on group varieties, II, Invent. math., 80, 1985, 233-267. | Zbl | MR
[33] - - Another note on Baker's theorem, Prep. Univ. Ann Arbor, 1985.
[34] - Démonstrations géométriques de lemmes de zéros, II, Birkhäuser Prog. Math., 31, 1983, 191-197. | Zbl | MR
[35] - On the fourteenth problem of Hilbert, Tata Inst. L.N., 1965. | MR
[36] - Estimates for the orders of zeros of functions of a certain class and applications in the theory of transcendental numbers, Math. USSR Izv. 11, 1977, 239-270. | Zbl
[37] - Bornes pour la fonction caractéristique d'un idéal premier, Mat. Sb., 123, 1984, 11-34 [en russe]. | Zbl
[38] - Measures of algebraic independence of numbers and functions, Journées arithmétiques de Besançon (1985, à paraître dans Astérisque). | Zbl | MR | Numdam
[39] - Critères d'indépendance algébrique, Prep. Ecole polytechnique, 1984.
[40] - Lemmes de zéros dans les groupes algébriques commutatifs, Bull. SMF, 114, 1986, n° 3. | Zbl | MR | Numdam
[41] - Kummer theory on extensions of abelian varieties by tori, Duke Math. J., 46, 1979, 745-761. | Zbl | MR
[42] - Groupes algébriques et corps de classes, Hermann, 1959. | Zbl | MR
[43] - Dépendance d'exponentielles p-adiques, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 7, 1965-66, exp. n° 15. | Zbl | Numdam
[44] - Travaux de Baker, Séminaire Bourbaki 1969-70, exp. n° 368, Springer L.N., 180, 1971. | Zbl | Numdam
[45] - Quelques propriétés des groupes algébriques commutatifs, Astérisque 69-70, 1979, 191-202.
[46] - Abelian l-adic representations and elliptic curves, Benjamin, 1968. [Voir aussi Astérisque, 65, 1979, 155-188.] | Zbl | MR
[47] - On Dyson's lemma, Ann. Sc. N.S. Pisa, 12, 1985, 105-135. | Zbl | MR | Numdam
[48] - Results on Bezout's theorem, Tata Inst. L.N., 1984.
[49] - Nombres transcendants et groupes algébriques, Astérisque, 69-70, 1979. | Zbl | MR | Numdam
[50] - Transcendance et exponentielles en plusieurs variables, Invent. math., 63, 1981, 97-127. | Zbl | MR
[51] - Sous-groupes analytiques de groupes algébriques, Ann. Math., 117, 1983, 627-657. | Zbl | MR
[52] - Dépendance de logarithmes dans les groupes algébriques, Birkhäuser Prog. Math., 31, 1983, 279-328. | Zbl | MR
[53] - Nullstellenabschätzungen auf Varietäten, Birkhäuser Prog. Math., 22, 1982, 359-362. | Zbl
[54] - Multiplicity estimates on group varieties, Prep. Max Planck Inst., 1984.
[55] - Algebraische Punkte auf analytischen Untergruppen algebraischer Gruppen, Prep. Max Planck Inst., 1984.
[56] - Some remarks on a conjecture of Waldschmidt, Birkhäuser Prog. Math., 31, 1983, 329-336. | Zbl | MR
[57] - Transzendenzeigenschaften von Perioden elliptischer Integrale, Crelle, 354, 1984, 164-174. | Zbl | MR
[58] - Zum Periodenproblem, Invent. math., 78, 1984, 381-391. | Zbl | MR
[59] - Recent progress in transcendence theory, Springer L.N., 1068, 1984, 280-296. | Zbl | MR
[60] - Linear Forms in elliptic logarithms, J. Number Th., 20, 1985, 1-69. | Zbl | MR
(1) C'est précisément une hypothèse de type Cohen - Macaulay qu'on trouvera dans la version définitive de [40] (voir aussi : Note on a paper of P. Philippon, Prep. IAS, Princeton, 1986). Elle permet, dans la conclusion du théorème 2, de remplacer δN-d par deg G .
(2) Il s'agit ici d'une version relative du résultat de [22], également établie par (Families of translations of commutative algebraic groups, Prep. Univ. Erlangen, 1985).
(3) En introduisant la dimension t du plus grand sous-espace vectoriel de V défini sur (On Gel'fond - Schneider's method in several variables, Proc. Conf. Durham, 1986) est parvenu à recouvrir d'un énoncé les théorèmes 3 et 4. Dans la situation de la proposition 5, il obtient ainsi l'inégalité : l ≤ (n-t)(n+1) , d'où le résultat de la proposition 6 pour t = n .
(4) Pour une application de ce principe aux valeurs de fonctions hypergéométriques, voir : Fonctions hypergéométriques : arguments exceptionnels et groupe de monodromie, in "Problèmes diophantiens 85-86", Publ. Univ. Paris VI, 1986, exp. n° 9.
(5) , (6) Comme l'ont démontré et (Formes linéaires de logarithmes sur les groupes algébriques commutatifs, Prep. Univ. Paris VI, 1986), la restriction imposée à V à la proposition 7 peut être levée dans tous les cas (sous réserve, bien entendu, d'admettre dans la conclusion la possibilité que L(u) soit nulle). Leur méthode permet, à la proposition 8, de remplacer l'exposant de log U par n'importe quel nombre réel > n et de supprimer la référence à End J dans son corollaire.
(7) Cette dépendance pourrait être explicitée, grâce aux estimations de hauteurs sur l'espace de Siegel établies par pour obtenir une version modulaire de [28] (voir : Specializations of finitely generated subgroups of abelian varieties, Prep. Univ. Ann Arbor, 1986).
