Sur les symétries des structures géométriques rigides

Dumitrescu, Sorin

Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Volume 28 (2009-2010), pp. 29-49.

Nous présentons des résultats de classification pour des variétés lorentziennes de dimension trois avec “beaucoup” de symétries locales.

[1] A. Amores, Vector fields of a finite type $G$-structure, J. Differential Geom., 14(1), 1979, 1-6. | MR | Zbl

[2] G. D’Ambra, Isometry groups of Lorentz manifolds, Invent. Math., 92, (1988), 555-565. | MR | Zbl

[3] G. D’Ambra, M. Gromov, Lectures on transformations groups : geometry and dynamics, Surveys in Differential Geometry (Cambridge), (1990), 19-111. | MR | Zbl

[4] M. Babillot, R. Feres, A. Zeghib, Rigidité, Groupe fondamental et Dynamique, (P. Foulon Ed.), Panoramas et Synthèses, 13, (2002). | MR

[5] Y. Benoist , Orbites des structures rigides (d’après M. Gromov), Feuilletages et systèmes intégrables (Montpellier, 1995), Birkhäuser Boston, (1997), 1-17. | MR | Zbl

[6] Y. Benoist, Actions propres sur les espaces homogènes réductifs, Annals of Mathematics, 144, (1996), 315-347. | MR | Zbl

[7] Y. Benoist, P. Foulon, F. Labourie, Flots d’Anosov à distributions stables et instables différentiables, Jour. Amer. Math. Soc., 5, (1992), 33-74. | MR | Zbl

[8] Y. Benoist, F. Labourie, Sur les espaces homogènes modèles de variétés compactes, Publ. Math. I.H.E.S., 76, (1992), 99-109. | Numdam | MR | Zbl

[9] E. Calabi, L. Markus, Relativistic space forms, Ann. of Math., 75, (1962), 63-76. | MR | Zbl

[10] A. Candel, R. Quiroga-Barranco, Gromov’s centralizer theorem, Geom. Dedicata 100, (2003), 123-155. | MR | Zbl

[11] Y. Carrière, Flots riemanniens, dans Structures transverses des feuilletages, Toulouse, Astérisque, 116, (1984), 31-52. | Numdam | MR | Zbl

[12] Y. Carrière, Autour de la conjecture de L. Markus sur les variétés affines, Invent. Math., 95, (1989), 615-628. | EuDML | MR | Zbl

[13] S. Dumitrescu, Dynamique du pseudo-groupe des isométries locales sur une variété lorentzienne analytique de dimension $3$, Ergodic Th. Dyn. Systems, 28(4), (2008), 1091-1116. | MR | Zbl

[14] S. Dumitrescu, A. Zeghib, Géométries Lorentziennes de dimension 3 : classification et complétude, Geometriæ Dedicata, 149, (2010), 243-273. | MR

[15] C. Ehresmann, Sur les espaces localement homogènes, Enseignement Math., p. 317, (1936).

[16] C. Ehresmann, Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable, Colloque de Topologie, Bruxelles, (1950). | MR | Zbl

[17] R. Feres, Rigid geometric structures and actions of semisimple Lie groups, Rigidité, groupe fondamental et dynamique, Panorama et synthèses, 13, Soc. Math. France, Paris, (2002). | MR | Zbl

[18] J. Ferrand, The action of conformal transformations on a Riemannian manifold, Math. Ann., 304, (1996), 277-291. | EuDML | MR | Zbl

[19] C. Frances, Un théorème de Ferrand-Obata pour les géométries paraboliques de rang un, Ann. Sci. Ens., 40(5),(2007), 741-764. | Numdam | Zbl

[20] C. Frances, Rigidity at the boundary for conformal structures and other Cartan geometries, arXiv.

[21] D. Fried, W. Goldman, Three-dimensional affine crystallographic groups, Adv. Math., 47(1), (1983), 1-49. | MR | Zbl

[22] P. Friedbert, F. Tricerri, L. Vanhecke, Curvature invariants, differential operators and local homogeneity, Trans. Amer. Math. Soc., 348, (1996), 4643-4652. | MR | Zbl

[23] E. Ghys, Flots d’Anosov dont les feuilletages stables sont différentiables, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup., 20, (1987), 251-270. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[24] W. Goldman, Nonstandard Lorentz space forms, J. Differential Geom.,21(2), (1985), 301-308. | MR | Zbl

[25] W. Goldman, Y. Kamishima, The fundamental group of a compact flat Lorentz space form is virtually polycyclic, J. Differential Geom., 19(1), (1984), 233-240. | MR | Zbl

[26] M. Gromov, Rigid transformation groups, Géométrie Différentielle, (D. Bernard et Choquet-Bruhat Ed.), Travaux en cours, Hermann, Paris, 33, (1988), 65-141. | MR | Zbl

[27] M. Guediri, Sur la complétude des pseudo-métriques invariantes à gauche sur les groupes de Lie nilpotents, Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, 52(4), (1994), 371-376. | MR | Zbl

[28] M. Guediri, J. Lafontaine, Sur la complétude des variétés pseudo-riemanniennes, J. Geom. Phys., 15(2), (1995), 150-158. | MR | Zbl

[29] M. Guediri, On completeness of left-invariant Lorentz metrics on solvable Lie groups, Rev. Mat. Univ. Complut. Madrid, 9(2), (1996), 337-350. | EuDML | MR | Zbl

[30] O. Kowalski, Counter-example to the second Singer’s theorem, Ann. Global Anal. Geom., 8(2), (1990), 211-214. | Zbl

[31] R. Kulkarni & F. Raymond, $3$-dimensional Lorentz space-forms and Seifert fiber spaces, J. Differential Geom., 21(2), (1985), 231-268. | MR | Zbl

[32] B. Klingler, Complétude des variétés Lorentziennes à courbure sectionnelle constante, Math. Ann., 306, (1996), 353-370. | EuDML | MR | Zbl

[33] S. Kobayashi, Transformation groupes in differential geometry, Springer-Verlag, (1972). | MR | Zbl

[34] T. Kobayashi, T. Yoshino, Compact Clifford-Klein form of symmetric spaces -revisited, Pure Appl. Math. Q., 1(3), (2005), 591-663. | MR | Zbl

[35] A. Koutras, C. McIntosh, A metric with no symmetries or invariants, Class. Quant. Grav., 13(5), (1996), 47-49. | MR | Zbl

[36] F. Labourie, Quelques résultats récents sur les espaces localement homogènes compacts, Symposia Mathematica (en l’honneur d’Eugenio Calabi), (1996), 267-283. | MR | Zbl

[37] F. Lastaria, F. Tricceri, Curvature-orbits and locally homogeneous Riemannian manifolds, Ann. Mat. Pura Appl., 165(4), (1993), 121-131. | MR | Zbl

[38] V. Matveev, Proof of the projective Lichnerowicz-Obata conjecture, J. Diff. Geom., 75(3), (2007), 459-502. | MR | Zbl

[39] G. Mess, Lorentz spacetimes of constant curvature, preprint IHES/M/90/28, (1990). | MR

[40] J. Milnor, Curvatures of Left Invariant Metrics on Lie Groups, Adv. in Math., 21, (1976), 293-329. | MR | Zbl

[41] P. Molino, Riemannian Foliations, Birkhauser, (1988). | MR | Zbl

[42] M. Morrill, Nonexistence of compact de Sitter manifolds, PHD, University of California, (1996).

[43] G. Mostow, The extensibility of local Lie groups of transformations and groups on surfaces, Ann. of Math., 52(2), (1950), 606-636. | MR | Zbl

[44] K. Nomizu, On local and global existence of Killing vector fields, Ann. of Math. (2), 72, (1960), 105-120. | MR | Zbl

[45] M. Obata, The conjecture on conformal transformations on riemannian manifolds, J. Diff. Geom., 6, (1971), 247-258. | MR | Zbl

[46] P. Olver, Equivalence, invariants and symmetry, Cambridge Univ. Press, (1995). | MR | Zbl

[47] V. Patrangenaru, Locally homogeneous pseudo-Riemannian manifolds, J. Geom. Phys., 17, (1995), 59-72. | MR | Zbl

[48] M. Raghunathan, Discrete subgroups of Lie groups, Springer, (1972). | MR | Zbl

[49] S. Rahmani, Métriques de Lorentz sur les groupes de Lie unimodulaires de dimension $3$, J. Geom. Phys., 9, (1992), 295-302. | MR | Zbl

[50] N. Rahmani, S. Rahmani, Lorentzian geometry of the Heisenberg group, Geom. Dedicata, 118, (2006), 133-140. | MR | Zbl

[51] F. Salein, Variétés anti-de Sitter de dimension 3 exotiques, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 50(1), (2000), 257-284. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[52] R. Schoen, On the conformal and CR automorphism groups, Geom. Funct. Anal., 5(2), (1995), 464-481. | EuDML | MR | Zbl

[53] P. Scott, The Geometries of $3$-manifolds, Bull. London Math. Soc., 15, (1983), 401-487. | MR | Zbl

[54] R. Sharpe, Differential Geometry, Cartan’s Generalization of Klein’s Erlangen Program, Springer, (1997). | MR | Zbl

[55] W. Thurston, Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry, Bull. of Amer. Math. Soc., 6(3), (1982), 357-381. | MR | Zbl

[56] W. Thurston, The geometry and topology of $3$-manifolds, Princeton University Press, (1983).

[57] J. Wolf, Spaces of constant curvature, McGraw-Hill Series in Higher Math., (1967). | MR | Zbl

[58] A. Zeghib, Killing fields in compact Lorentz $3$-manifolds, J. Differential Geom., 43, (1996), 859-894. | MR | Zbl

[59] R. Zimmer, Ergodic theory and semisimple groups, Birkhäuser, (1984). | MR | Zbl