Lattices in potentially semi-stable representations and weak $(\varphi ,\widehat{G})$-modules

Ozeki, Yoshiyasu

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 29 (2017) no. 1, pp. 217-241

Let $p$ be a prime number and $r\ge 0$ an integer. In this paper, we prove that there exists an anti-equivalence between the category of weak $(\varphi ,\widehat{G})$-modules of height $\le r$ and a certain subcategory of the category of Galois stable ${\mathbb{Z}}_p$-lattices in potentially semi-stable representations with Hodge–Tate weights in $[0,r]$. This gives an answer to a question by Tong Liu about the essential image of a functor on weak $(\varphi ,\widehat{G})$-modules. During the proof, following Liu’s methods, we construct linear algebraic data which classifies lattices in potentially semi-stable representations.

Soient $p$ un nombre premier et $r\ge 0$ un entier. Dans cet article nous montrons une anti-équivalence de catégories entre la catégorie des $(\varphi ,\widehat{G})$-modules faibles et une certaine sous-catégorie des la catégorie des réseaux dans les ${\mathbb{Q}}_p$-représentations semi-stables à poids de Hodge–Tate compris entre $0$ et $r$. Cela répond à une question de Tong Liu sur l’image essentielle du foncteur sur les $(\varphi ,\widehat{G})$-modules faibles. Nous construisons au cours de la démonstration, suivant la méthode de Liu, des données algébriques linéaires qui classifient des réseaux dans les représentations semi-stables.

Classification : 11F85, 11S20
Keywords: weak $(\varphi ,\hat{G})$-modules, potentially semi-stable representations.

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