The $n$-th prime asymptotically

Arias de Reyna, Juan; Toulisse, Jérémy

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 25 (2013) no. 3, pp. 521-555.

A new derivation of the classic asymptotic expansion of the $n$-th prime is presented. A fast algorithm for the computation of its terms is also given, which will be an improvement of that by Salvy (1994).

Realistic bounds for the error with ${li}^{-1}\left(n\right)$, after having retained the first $m$ terms, for $1\le m\le 11$, are given. Finally, assuming the Riemann Hypothesis, we give estimations of the best possible $r_3$ such that, for $n\ge r_3$, we have $p_n>s_3\left(n\right)$ where $s_3\left(n\right)$ is the sum of the first four terms of the asymptotic expansion.

Dans cet article nous donnons une nouvelle dérivation du développement asymptotique classique du $n$-ième nombre premier ; ainsi qu’un algorithme permettant de calculer les termes rapidement, améliorant celui de Salvy (1994).

Nous donnons des bornes réalistes de l’erreur avec ${li}^{-1}\left(n\right)$ après avoir pris en compte les $m$ premiers termes, pour $1\le m\le 11$. Finalement, en supposant l’Hypothèse de Riemann, nous donnons une estimation du meilleur $r_3$ possible tel que pour $n\ge r_3$ on ait $p_n>s_3\left(n\right)$ où $s_3\left(n\right)$ désigne la somme des quatre premiers termes du développement asymptotique.

[1] E. Cesàro, Sur une formule empirique de M. Pervouchine, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 119 (1894), 848–849. (also in [2]).

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[21] G. Torelli, Sulla totalità dei numeri primi fino a un limite assegnato, Atti della Reale Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche, Napoli (2) 11 (1901), 1–222.