Galois irreducibility implies cohomology freeness for KHT Shimura varieties

Boyer, Pascal

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 10 (2023), pp. 199-232

Given a KHT Shimura variety with an action of its unramified Hecke algebra $𝕋$, we proved in [7], see also [12] for other PEL Shimura varieties, that its localized cohomology groups at a generic maximal ideal $𝔪$ of $𝕋$, happen to be free. In this work, we obtain the same result for $𝔪$ such that its associated Galois ${\overline{𝔽}}_{\ell }$-representation $\overline{{\rho }_{𝔪}}$ is irreducible, under the hypothesis that $\left[F\right(exp(2i\pi /\ell ):F]>d$, where $F$ is the reflex field, $d$ the dimension of the KHT Shimura variety and $\ell$ the residual characteristic.

Étant donnée une variété de Shimura unitaire de type KHT de dimension relative $d-1$ sur son corps reflex $F$ et munie de l’action de son algèbre de Hecke $𝕋$ non ramifiée, nous prouvons dans  [7], voir aussi [12] pour les autres variétés de Shimura de type PEL, que ses groupes de ${\overline{\mathbb{Z}}}_{\ell }$-cohomologie localisés en un idéal maximal générique $𝔪$ de $𝕋$, sont libres. Dans ce travail, sous l’hypothèse que $\left[F\right(exp(2i\pi /\ell ):F]>d$, nous montrons le même résultat pour $𝔪$ tel que sa ${\overline{𝔽}}_{\ell }$-représentation galoisienne associée, $\overline{{\rho }_{𝔪}}$, est irréductible.

Classification : 11F70, 11F80, 11F85, 11G18, 20C08
Keywords: Shimura varieties, torsion in the cohomology, maximal ideal of the Hecke algebra, localized cohomology, Galois representation
Mots-clés : Variétés de Shimura, torsion dans la cohomologie, algèbres de Hecke, localisation de la cohomologie, représentations galoisiennes

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