[Théorèmes de Courant et de Pleijel pour les Laplaciens sous-Riemanniens]
We are interested in the number of nodal domains of eigenfunctions of sub-Laplacians on sub-Riemannian manifolds. Specifically, we investigate the validity of Pleijel’s theorem, which states that the number of nodal domains of an eigenfunction corresponding to the -th eigenvalue is strictly (and uniformly, in a certain sense) smaller than for large . We first reduce this question from the case of general sub-Riemannian manifolds to that of nilpotent groups. Secondly, we analyze in detail the case where the nilpotent group is a Heisenberg group times a Euclidean space. Along the way we improve known bounds on the optimal constants in the Faber–Krahn and isoperimetric inequalities on these groups. This is an announcement and the proofs will be given in a future paper (see also in ArXiv). This announcement is a modification with inclusion of new results of the more detailed announcement published in [10].
Dans cet exposé (présenté oralement aux journées EDP 2024 à Aussois par le deuxième auteur), nous nous intéressons au nombre d’ensembles nodaux de fonctions propres de sous-Laplaciens définis sur des variétés riemanniennes. Plus précisément, nous explorons la validité du théorème de Pleijel qui énonce que le nombre d’ensembles nodaux d’une fonction propre associée à une -ième valeur propre est strictement (et uniformément en un certain sens) inférieur à pour assez grand. Nous réduisons d’abord la question générale à celle pour des ouverts de groupes nilpotents. Nous analysons ensuite en détail le cas où le groupe nilpotent est le produit direct d’un groupe de Heisenberg et d’un espace Euclidien. En cours de route, nous sommes conduits à améliorer des bornes connues des constantes optimales pour les inégalités de Faber–Krahn ou isopérimétriques pour ces groupes. C’est une annonce (détaillée sur ArXiv) de résultats dont les preuves feront l’objet d’un futur article. Cette annonce reprend avec modification et inclusion de nouveaux résultats l’annonce plus détaillée présentée dans [10].
Frank, Rupert L. 1 , 2 , 3 ; Helffer, Bernard 4
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Frank, Rupert L.; Helffer, Bernard. On Courant and Pleijel theorems for sub-Riemannian Laplacians. Journées équations aux dérivées partielles (2024), Exposé no. 7, 12 p.. doi: 10.5802/jedp.688
[1] A pseudodifferential calculus for maximally hypoelliptic operators and the Helffer–Nourrigat conjecture (2022) | arXiv
[2] Inégalités isopérimétriques et applications, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), Volume 15 (1982) no. 3, pp. 513-541 | DOI | MR | Numdam
[3] Principe du maximum, inégalité de Harnack et unicité du problème de Cauchy pour des opérateurs elliptiques dégénérés, Ann. Inst. Fourier, Volume 19 (1969) no. 1, pp. 277-304 | DOI | MR | Numdam
[4] Methods of Mathematical Physics: Partial Differential Equations, Vol. 2, John Wiley & Sons, 2008 | MR
[5] Un problème aux limites pour une classe d’opérateurs du second ordre hypoelliptiques, Ann. Inst. Fourier, Volume 21 (1971) no. 4, pp. 99-148 | MR | Numdam | DOI
[6] Nodal sets of Eigenfunctions of sub-Laplacians, Int. Math. Res. Not., Volume 2023 (2023) no. 23, pp. 20670-20700 | DOI | MR
[7] Quantization on Nilpotent Lie Groups, Progress in Mathematics, 314, Birkhäuser, 2015 | MR
[8] Subelliptic estimates and function spaces on nilpotent groups, Ark. Mat., Volume 13 (1975), pp. 161-207 | DOI | MR
[9] On Courant and Pleijel theorems for sub-Riemannian Laplacians (2024) | arXiv
[10] On Courant and Pleijel theorems for sub-Riemannian Laplacians, Pseudo-differential operators and related topics. Extended Abstracts PSORT 2024, Trends in Mathematics, Research Perspectives Ghent Analysis and PDE Center (Rottensteiner, D.; Ruzhansky, M.; Kumar, V., eds.), Birkhäuser, 2025, pp. 9-23 | MR
[11] Sharp constants in several inequalities on the Heisenberg group, Ann. Math. (2), Volume 176 (2012) no. 1, pp. 349-381 | MR
[12] Sharp spectral inequalities for the Heisenberg Laplacian, Groups and analysis. The legacy of Hermann Weyl (London Mathematical Society Lecture Note Series), Volume 354, Cambridge University Press, 2008, pp. 100-115 | DOI
[13] Hypoellipticité Maximale pour des Opérateurs Polynômes de Champs de Vecteurs, Progress in Mathematics, Birkhäuser, 1985 | MR
[14] On nodal domains in Euclidean balls, Proc. Am. Math. Soc., Volume 144 (2017) no. 11, pp. 4777-4791 | DOI | MR
[15] Hypoelliptic second order differential equations, Acta Math., Volume 119 (1967), pp. 147-171 | DOI | MR
[16] Extremal for the Sobolev inequality on the Heisenberg group and the CR Yamabe problem, J. Am. Math. Soc., Volume 1 (1988) no. 1, pp. 1-13 | Zbl | DOI | MR
[17] Pleijel’s nodal domain theorem for Neumann and Robin eigenfunctions, Ann. Inst. Fourier, Volume 69 (2019) no. 1, pp. 283-301 | DOI | MR | Numdam
[18] Topics in Spectral Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 237, American Mathematical Society, 2023 | DOI | MR
[19] On the eigenvalues of a class of hypoelliptic operators, Math. Ann., Volume 235 (1978), pp. 55-85 | DOI | MR
[20] Fonction spectrale et valeurs propres d’une classe d’opérateurs non elliptiques, Commun. Partial Differ. Equations, Volume 1 (1976), pp. 467-519 | DOI | MR
[21] On the number of nodal domains for eigenfunctions of elliptic differential operators, J. Lond. Math. Soc. (2), Volume 31 (1985), pp. 91-100 | DOI | MR
[22] Über Integralungleichungen zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung, Acta Sci. Math., Volume 10 (1941), pp. 64-74
[23] An isoperimetric inequality for the Heisenberg group, C. R. Math., Volume 295 (1982) no. 2, pp. 127-130
[24] Remarks on Courant’s nodal theorem, Commun. Pure Appl. Math., Volume 9 (1956), pp. 543-550 | DOI
[25] A criterion for hypoellipticity of operators constructed of vector fields, Commun. Partial Differ. Equations, Volume 4 (1979) no. 6, pp. 248-315
[26] Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups, Acta Math., Volume 137 (1979), pp. 248-315 | MR
[27] Analysis on nilpotent groups, J. Funct. Anal., Volume 66 (1986), pp. 406-431 | DOI | MR
[28] Spectral asymptotics for sub-Riemannian Laplacians, I: Quantum ergodicity and quantum limits in the 3-dimensional contact case, Duke Math. J., Volume 167 (2018) no. 1, pp. 109-174 | DOI | MR
[29] Small-time asymptotics of hypoelliptic heat kernels near the diagonal, nilpotentization and related results, Ann. Henri Lebesgue, Volume 4 (2021), pp. 897-971 | DOI | MR | Numdam
[30] Spectral asymptotics for sub-Riemannian Laplacians (2022) | arXiv
[31] Sur l’unicité du prolongement des solutions des équations elliptiques dégénérées, Tôhoku Math. J., Volume 34 (1982), pp. 239-249 | DOI | MR
Cité par Sources :
