On Erdős sums of almost primes

Gorodetsky, Ofir; Lichtman, Jared Duker; Wong, Mo Dick

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 362 (2024) no. G12, pp. 1571-1596

In 1935, Erdős proved that the sums $f_k={\sum }_{n}1/(nlogn)$, over integers $n$ with exactly $k$ prime factors, are bounded by an absolute constant, and in 1993 Zhang proved that $f_k$ is maximized by the prime sum $f_1={\sum }_{p}1/(plogp)$. According to a 2013 conjecture of Banks and Martin, the sums $f_k$ are predicted to decrease monotonically in $k$. In this article, we show that the sums restricted to odd integers are indeed monotonically decreasing in $k$, sufficiently large. By contrast, contrary to the conjecture we prove that the sums $f_k$ increase monotonically in $k$, sufficiently large.

Our main result gives an asymptotic for $f_k$ which identifies the (negative) secondary term, namely $f_k=1-(a+o\left(1\right))k^2/2^k$ for an explicit constant $a=0.0656\cdots$. This is proven by a refined method combining real and complex analysis, whereas the classical results of Sathe and Selberg on products of $k$ primes imply the weaker estimate $f_k=1+O_{\epsilon }\left(k^{\epsilon -1/2}\right)$. We also give an alternate, probability-theoretic argument related to the Dickman distribution. Here the proof reduces to showing a sequence of integrals converges exponentially quickly ${\mathrm{e}}^{-\gamma }$, which may be of independent interest.

En 1935, Erdős a prouvé que les sommes $f_k={\sum }_{n}1/(nlogn)$, portant sur les entiers $n$ ayant exactement $k$ facteurs premiers, sont majorées par une constante absolue, et en 1993, Zhang a prouvé que $f_k$ est maximisé par la somme sur les nombres premiers $f_1={\sum }_{p}1/(plogp)$. Selon une conjecture de Banks et Martin de 2013, les sommes $f_k$ devraient être décroissantes en fonction de $k$. Dans cet article, nous démontrons que les sommes restreintes aux entiers impairs sont bien décroissantes pour $k$ suffisamment grand. En revanche, contrairement à la conjecture, nous prouvons que les sommes $f_k$ sont croissantes en fonction de $k$, suffisamment grand. Notre résultat principal donne une formule asymptotique pour $f_k$ qui identifie le terme secondaire (négatif), à savoir $f_k=1-(a+o\left(1\right))k^2/2^k$ pour une constante explicite $a=0,0656\cdots$. Ceci est prouvé par une méthode raffinée combinant analyse réelle et complexe, alors que les résultats classiques de Sathe et Selberg sur les produits de $k$ nombres premiers impliquent l’estimation plus faible $f_k=1+O_{\epsilon }\left(k^{\epsilon -1/2}\right)$. De plus, nous donnons un argument probabiliste alternatif, lié à la distribution de Dickman. Ici, la preuve se réduit à démontrer qu’une suite d’intégrales converge exponentiellement rapidement vers ${\mathrm{e}}^{-\gamma }$, ce qui peut présenter un intérêt indépendant.

Classification : 11N25, 11Y60, 11A05, 60G18, 60H25
Keywords: Almost primes, primitive set, Dickman distribution, recursive distributional equation
Mots-clés : Nombres presque premiers, ensemble primitif, loi de Dickman, équation en loi récursive

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