Skew-Forms and Galois Theory

Gupta, Ashish; Mandal, Sugata

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 362 (2024) no. G11, pp. 1337-1347

Let $L/K$ be a cyclic extension of degree $n=2m$. It is known that the space ${\mathrm{Alt}}_K\left(L\right)$ of alternating $K$-bilinear forms (skew-forms) on $L$ decomposes into a direct sum of $K$-subspaces $A^{{\sigma }^i}$ indexed by the elements of $\mathrm{Gal}(L/K)=\langle \sigma \rangle$. It is also known that the components $A^{{\sigma }^i}$ can have nice constant-rank properties. We enhance and enrich these constant-rank results and show that the component $A^{\sigma }$ often decomposes directly into a sum of constant rank subspaces, that is, subspaces all of whose non-zero skew-forms have a fixed rank $r$. In particular, this is always true when $-1\notin L^2$. As a result we deduce a decomposition of ${\mathrm{Alt}}_K\left(L\right)$ into subspaces of constant rank in several interesting situations. We also establish that a subspace of dimension $\frac{n}{2}$ all of whose nonzero skew-forms are non-degenerate can always be found in $A^{{\sigma }^i}$ where ${\sigma }^i$ has order divisible by $2$.

Soit $L/K$ une extension cyclique de degré $n=2m$. On sait que l’espace ${\mathrm{Alt}}_K\left(L\right)$ des formes bilinéaires $K$-formes bilinéaires alternées (skew-forms) sur $L$ se décompose en une somme directe de $K$-sous-espaces $A^{{\sigma }^i}$ indexés par les éléments de $\mathrm{Gal}(L/K)=\langle \sigma \rangle$. Il est également connu que les composants $A^{{\sigma }^i}$ peuvent avoir de belles propriétés de rang constant. Nous améliorons et enrichissons ces résultats de rang constant et montrons que la composante $A^{\sigma }$ se décompose souvent directement en une somme de sous-espaces de rang constant, c’est-à-dire des sous-espaces dont toutes les formes asymétriques non nulles ont un rang fixe $r$. En particulier, ceci est toujours vrai lorsque $-\notin L^2$. En conséquence, nous déduisons une décomposition de ${\mathrm{Alt}}_K\left(L\right)$ en sous-espaces de rang constant dans plusieurs situations intéressantes. Nous établissons également qu’un sous-espace de dimension $\frac{n}{2}$ dont toutes les formes asymétriques non nulles sont non dégénérées peut toujours être trouvé dans $A^{{\sigma }^i}$ où ${\sigma }^i$ a un ordre divisible par $2$.

Classification : 12F05, 12F10, 15A63
Keywords: Alternating form, skew-symmetric form, constant rank space, Galois extension
Mots-clés : Forme alternée, forme antisymétrique, espace de rang constant, extension de Galois

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