Further than Descartes’ rule of signs

Gati, Yousra; Kostov, Vladimir Petrov; Tarchi, Mohamed Chaouki

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 362 (2024) no. G8, pp. 863-881

The sign pattern defined by the real polynomial $Q:={\Sigma }_{j=0}^d{a}_j{x}^j$, $a_j\ne 0$, is the string $\sigma \left(Q\right):=(\mathrm{sgn}\left(a_d\right),...,\mathrm{sgn}\left(a_0\right))$. The quantities $\mathrm{pos}$ and $\mathrm{neg}$ of positive and negative roots of $Q$ satisfy Descartes’ rule of signs. A couple $({\sigma }_0,(\mathrm{pos},\mathrm{neg}))$, where ${\sigma }_0$ is a sign pattern of length $d+1$, is realizable if there exists a polynomial $Q$ with $\mathrm{pos}$ positive and $\mathrm{neg}$ negative simple roots, with $(d-\mathrm{pos}-\mathrm{neg})/2$ complex conjugate pairs and with $\sigma \left(Q\right)={\sigma }_0$. We present a series of couples (sign pattern, pair $(\mathrm{pos},\mathrm{neg})$) depending on two integer parameters and with $\mathrm{pos}\ge 1$, $\mathrm{neg}\ge 1$, which is not realizable. For $d=9$, we give the exhaustive list of realizable couples with two sign changes in the sign pattern.

La suite de signes des coefficients d’un polynôme réel $Q:={\Sigma }_{j=0}^d{a}_j{x}^j$, $a_j\ne 0$, est donnée par $\sigma \left(Q\right):=(\mathrm{sgn}\left(a_d\right),...,\mathrm{sgn}\left(a_0\right))$. Les quantités $\mathrm{pos}$ et $\mathrm{neg}$ de racines positives et négatives de $Q$ satisfont la règle des signes de Descartes. Un couple $({\sigma }_0,(\mathrm{pos},\mathrm{neg}))$, où ${\sigma }_0$ est une suite de signes de longueur $d+1$, est «  réalisable  » s’il existe un polynôme $Q$ avec $\mathrm{pos}$ racines simples positives et $\mathrm{neg}$ racines simples négatives, avec $(d-\mathrm{pos}-\mathrm{neg})/2$ paires complexes conjuguées et avec $\sigma \left(Q\right)={\sigma }_0$. Nous présentons une série de couples (suite de signes, paire $(\mathrm{pos},\mathrm{neg})$) dépendant de deux paramètres entiers et avec $\mathrm{pos}\ge 1$, $\mathrm{neg}\ge 1$, qui ne sont pas réalisables. Pour $d=9$, nous donnons la liste exhaustive des couples réalisables avec deux changements de signe dans la suite de signes.

Classification : 26C10, 30C15
Keywords: Real polynomial in one variable, hyperbolic polynomial, sign pattern, Descartes’ rule of signs
Mots-clés : Polynôme à une variable réelle, polynôme hyperbolique, suite de signes, règle de Descartes

[1] Albouy, Alain; Fu, Yanning Some remarks about Descartes’ rule of signs, Elem. Math., Volume 69 (2014) no. 4, pp. 186-194 | DOI | MR | Zbl

[2] Anderson, Bruce; Jackson, Jeffrey; Sitharam, Meera Descartes’ rule of signs revisited, Am. Math. Mon., Volume 105 (1998) no. 5, pp. 447-451 | DOI | MR | Zbl

[3] Cajori, Florian A history of the arithmetical methods of approximation to the roots of numerical equations of one unknown quantity, Colorado College Publ. Sci. Ser., Volume 12-7 (1910), pp. 171-215 | Zbl

[4] Cheriha, Hassen; Gati, Yousra; Kostov, Vladimir P. A nonrealization theorem in the context of Descartes’ rule of signs, God. Sofiĭ. Univ. “Sv. Kliment Okhridski.” Fac. Mat. Inform., Volume 106 (2019), pp. 25-51 | MR | Zbl | DOI

[5] Cheriha, Hassen; Gati, Yousra; Kostov, Vladimir P. On Descartes’ rule for polynomials with two variations of signs, Lith. Math. J., Volume 60 (2020) no. 4, pp. 456-469 | DOI | MR | Zbl

[6] Curtiss, D. R. Recent extensions of Descartes’ rule of signs, Ann. Math., Volume 19 (1918) no. 4, pp. 251-278 | DOI | MR | Zbl

[7] de Malves, Jean-Paul de Gua Démonstrations de la Régle de Descartes, Pour connoitre le nombre des Racines positives & négatives dans les Equations qui n’ont point de Racines imaginaires, Memoires de Mathématique et de Physique tirés des registres de l’Académie Royale des Sciences (1741) pp, 1741, pp. 72-96

[8] Forsgård, Jens; Kostov, Vladimir P.; Shapiro, Boris Z. Could René Descartes have known this?, Exp. Math., Volume 24 (2015) no. 4, pp. 438-448 | DOI | MR | Zbl

[9] Forsgård, Jens; Novikov, Dmitry; Shapiro, Boris Z. A tropical analog of Descartes’ rule of signs, Int. Math. Res. Not., Volume 2017 (2017) no. 12, pp. 3726-3750 | DOI | MR | Zbl

[10] Fourier, Joseph Sur l’usage du théoreme de Descartes dans la recherche des limites des racines, Bulletin des sciences par la Société philomatique de Paris, Volume 156 (1820) no. 165, pp. 181-187 (Œuvres 2, 291–309, Gauthier-Villars, 1890)

[11] Gauß, C. F. Beweis eines algebraischen Lehrsatzes., J. Reine Angew. Math., Volume 3 (1828), pp. 1-4 | DOI | Zbl | MR

[12] Grabiner, David J. Descartes’ rule of signs: another construction, Am. Math. Mon., Volume 106 (1999) no. 9, pp. 854-856 | DOI | MR | Zbl

[13] Jensen, J. L. W. V. Recherches sur la théorie des équations, Acta Math., Volume 36 (1913) no. 1, pp. 181-195 | DOI | MR | Zbl

[14] Kostov, Vladimir P. On realizability of sign patterns by real polynomials, Czech. Math. J., Volume 68 (2018) no. 3, pp. 853-874 | DOI | MR | Zbl

[15] Kostov, Vladimir P. Polynomials, sign patterns and Descartes’ rule of signs, Math. Bohem., Volume 144 (2019) no. 1, pp. 39-67 | Zbl | DOI | MR

[16] Kostov, Vladimir P. Hyperbolic polynomials and canonical sign patterns, Serdica Math. J., Volume 46 (2020) no. 2, pp. 135-150 | MR

[17] Kostov, Vladimir P.; Shapiro, Boris Z. Polynomials, sign patterns and Descartes’ rule, Acta Univ. M. Belii Ser. Math., Volume 27 (2019), pp. 51-61 | MR | Zbl

[18] Laguerre, Edmond Sur quelques points de la théorie des équations numériques, Journal de Mathématiques pures et appliquées, s. 3, Volume 9 (1883), pp. 99-146 (Œuvres 1, Paris, 1898, Chelsea, New-York, 1972)

[19] Meserve, Bruce Elwyn Fundamental concepts of algebra, Courier Corporation, 1982

[20] Smith, David Eugene; Latham, Marcia L. The geometry of René Descartes. (With a facsimile of the first edition, 1637.), Dover Publications, 1954, ix+244 pages | MR | Zbl