Groupes de Brauer algébriques modulo les constantes d’espaces homogènes et leurs compactifications

Linh, Nguyen Manh

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 362 (2024) no. G6, pp. 693-700

Soit $X$ une variété lisse, géométriquement intègre, sans fonctions inversibles non constantes sur un corps $K$. Alors le quotient du groupe Brauer « algébrique » de $X$ par $\mathrm{Br}K$ s’injecte dans ${\mathrm{H}}^1(K,\mathrm{Pic}\overline{X})$. Nous montrons que cette inclusion n’est pas toujours un isomorphisme même dans le cas où $X$ est un espace homogène d’un groupe algébrique linéaire connexe sur $K$. Un résultat similaire pour les compactifications lisses de $X$ est aussi donné.

Let $X$ be a smooth, geometrically integral variety without non-constant invertible functions over a field $K$. Then the quotient of the “algebraic” Brauer group of $X$ by $\mathrm{Br}K$ injects into ${\mathrm{H}}^1(K,\mathrm{Pic}\overline{X})$. We show that this inclusion is not always an isomorphism, even in the case where $X$ is a homogeneous space of a connected linear algebraic group over $K$. A similar result for the smooth compactifications of $X$ is also given.

Classification : 14F22

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